חוק הפילוג

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה ובעיקר באלגברה, חוק הפילוג הוא תכונה של פעולות בינאריות, שמכלילה את חוק הפילוג של החיבור והכפל המוכר מאריתמטיקה.

FactorComun.svg

ניתן לראות דוגמה לתכונה זו במשוואה הבאה:

4\cdot(2+3)=(4\cdot 2)+(4\cdot 3)

כאן באגף שמאל של המשוואה, 4 מוכפל בסכום של שני מספרים, 3 ו-2. לעומת זאת, בצד ימין 4 מוכפל בכל אחד מהאיברים בנפרד, ואת התוצאות מחברים. מכיוון שבשתי הדרכים מתקבלת אותה התוצאה, ולא משנה איזה מספרים יוצבו במשוואה, אומרים במקרה זה כי חוק הפילוג תקף, או כי הכפל דיסטריבוטיבי מעל החיבור.

נשים לב שהדבר אינו תמיד נכון לכל שתי פעולות בינאריות, למשל:

4+(2\cdot 3)\ne(4+2)\cdot(4+3).

כאן באגף שמאל התוצאה המתקבלת היא 10, ואילו באגף ימין מתקבל 42. על כן החיבור אינו דיסטריבוטיבי מעל הכפל.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \!\, S קבוצה ויהיו \!\, *,+ שתי פעולות בינאריות המוגדרות עליה. נאמר כי:

  • \!\, * הוא דיסטריבוטיבי משמאל מעל \!\, + אם לכל \!\, x,y,z\isin S מתקיים \!\, x*(y+z)=(x*y)+(x*z).
  • \!\, * הוא דיסטריבוטיבי מימין מעל \!\, + אם לכל \!\, x,y,z\isin S מתקיים \!\, (y+z)*x=(y*x)+(z*x).
  • \!\, * הוא דיסטריבוטיבי מעל \!\, + אם הוא דיסטריבוטיבי מימין ומשמאל מעליו.

אם \!\, * היא פעולה קומוטטיבית הרי ששלושת התנאים הללו שקולים.