חיתוך (מתמטיקה)

בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, החיתוך של שתי קבוצות $\ A$ ו-$\ B$ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב-$\ A$ ששייכים גם ל-$\ B$ (או באופן שקול, כל האיברים ב-$\ B$ ששייכים גם ל-$\ A$), ורק אותם. החיתוך של $\ A$ ו-$\ B$ נכתב בדרך כלל כך: $\ A\cap B$.

דיאגרמת ון של החיתוך של A ו-B

מבחינה פורמלית:

$\ x\isin A\cap B$ ($\ x$ הוא איבר ב-$\ A\cap B$) אם ורק אם $\ x\isin A$ וגם $\ x\isin B$.

חיתוך כלשהו

בדומה לאיחוד ולפעולות אחרות בתורת הקבוצות, אפשר להגדיר את החיתוך של משפחה כלשהי של קבוצות. נניח כי $\ \left\{A_i\right\}_{i\isin\Lambda}$ היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס $\ i$ השייך לקבוצת אינדקסים $\ \Lambda$), אז החיתוך שלהן יסומן $\ \bigcap_{i\isin\Lambda} A_i$, והגדרתו היא ש-$\ x\isin \bigcap_{i\isin\Lambda} A_i$ אם ורק אם לכל $\ k\isin\Lambda$ מתקיים- $\ x\isin A_k$.

אם קבוצת האינדקסים $\ \Lambda$ ריקה, אומרים שהחיתוך הוא חיתוך ריק, השווה כביכול לקבוצה האוניברסלית שכל דבר הוא איבר שלה. על-מנת להבטיח שהחיתוך יהיה קבוצה, מגדירים את החיתוך של משפחת קבוצות בתוך מרחב נתון X, ואז החיתוך של משפחה ריקה שווה, כעניין שבהגדרה, למרחב X כולו.

דוגמאות

• אם $\ A=\left\{t,2,3,4\right\},B=\left\{4,5,r,t\right\}$ אז $\ A\cap B=\left\{t,4\right\}$
• אם $\ B\subseteq A$ (B הוא קבוצה חלקית של A) אז $\ A\cap B=B$.
• אם $\ B=\emptyset$ (קבוצה ריקה) אז לכל $\ A$ מתקיים $\ A\cap B=\emptyset$. (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
• אם $\ A_n=\left\{1,2,\dots,n\right\}$ אז $\ \bigcap_{n\isin\mathbb{N}} A_n=\left\{1\right\}$.
• בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת האיחוד:
  • בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות $\ A_n$ , אז הקבוצה $\ \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k\ge n} A_k$ היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס $\ n$ כלשהו.
  • בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות $\ A_n$ , אז הקבוצה $\ \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k\ge n} A_k$ היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.

(שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות $\ A_n$)