חיתוך (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, החיתוך של שתי קבוצות \ A ו-\ B הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב-\ A ששייכים גם ל-\ B (או באופן שקול, כל האיברים ב-\ B ששייכים גם ל-\ A), ורק אותם. החיתוך של \ A ו-\ B נכתב בדרך כלל כך: \ A\cap B.

דיאגרמת ון של החיתוך של A ו-B

מבחינה פורמלית:

\ x\isin A\cap B (\ x הוא איבר ב-\ A\cap B) אם ורק אם \ x\isin A וגם \ x\isin B.

חיתוך כלשהו[עריכת קוד מקור | עריכה]

בדומה לאיחוד ולפעולות אחרות בתורת הקבוצות, אפשר להגדיר את החיתוך של משפחה כלשהי של קבוצות. נניח כי \ \left\{A_i\right\}_{i\isin\Lambda} היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס \ i השייך לקבוצת אינדקסים \ \Lambda), אז החיתוך שלהן יסומן \ \bigcap_{i\isin\Lambda} A_i, והגדרתו היא ש-\ x\isin  \bigcap_{i\isin\Lambda} A_i אם ורק אם לכל \ k\isin\Lambda מתקיים- \ x\isin A_k.

אם קבוצת האינדקסים \ \Lambda ריקה, אומרים שהחיתוך הוא חיתוך ריק, השווה כביכול לקבוצה האוניברסלית שכל דבר הוא איבר שלה. על-מנת להבטיח שהחיתוך יהיה קבוצה, מגדירים את החיתוך של משפחת קבוצות בתוך מרחב נתון X, ואז החיתוך של משפחה ריקה שווה, כעניין שבהגדרה, למרחב X כולו.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם \ A=\left\{t,2,3,4\right\},B=\left\{4,5,r,t\right\} אז \ A\cap B=\left\{t,4\right\}
  • אם \ B\subseteq A (B הוא קבוצה חלקית של A) אז \ A\cap B=B.
  • אם \ B=\emptyset (קבוצה ריקה) אז לכל \ A מתקיים \ A\cap B=\emptyset. (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
  • אם \ A_n=\left\{1,2,\dots,n\right\} אז \ \bigcap_{n\isin\mathbb{N}} A_n=\left\{1\right\}.
  • בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת האיחוד:
    • בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות \ A_n , אז הקבוצה \ \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k\ge n} A_k היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס \ n כלשהו.
    • בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות \ A_n , אז הקבוצה \ \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k\ge n} A_k היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.
(שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות \ A_n)


נושאים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות הנאיביתתורת הקבוצות האקסיומטיתקבוצהיחידוןהקבוצה הריקהאיחודחיתוךמשליםהפרש סימטריקבוצת החזקהמכפלה קרטזיתיחסיחס שקילותפונקציהעוצמהקבוצה בת מנייההאלכסון של קנטורמשפט קנטור שרדר ברנשטייןהשערת הרצףהפרדוקס של ראסלסדר חלקימספר סודרהלמה של צורןאקסיומת הבחירה