חסימות במידה אחידה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, קבוצה של פונקציות היא חסומה במידה אחידה אם כל הפונקציות מהקבוצה חסומות על יד אותו קבוע. בשקילות, משפחת הפונקציה חסומה כאשר איחוד התמונות של כל הפונקציות השייכות לקבוצה הוא קבוצה חסומה. סדרת פונקציות  היא חסומה במידה אחידה אם קבוצת כל הפונקציות שבסדרה חסומה במידה אחידה.

באנליזה פונקציונליתמשפט בנך-שטיינהאוס מספק תנאים מספיקים לחסימות במידה אחידה של  קבוצה של אופרטורים.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הציר הממשי והמישור המרוכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי משפחה של פונקציות עם  קבוצה כלשהי, קבוצת אינדקסים ו- שדה המספרים הממשיים או המרוכבים. חסומה במידה אחידה אם קיים מספר ממשי כך שמתקיים:

.

מרחב מטרי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ביתר כלליות, אם מרחב מטרי עם מטריקה , אז הקבוצה נקראת חסומה במידה אחידה, אם קיים איבר  ומספר ממשי  כך שמתקיים .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • כל סדרת פונקציות אשר מתכנסת במידה שווה בתחום נתון היא חסומה במידה אחידה על התחום.
  • סדרת הפונקציות כך ש- ממשי ו- שלם חסומה במידה אחידה על כל הישר הממשי; החסם הוא 1.
  • סדרת הנגזרות של הפונקציות מהדוגמה שלעיל,, אינה חסומה במידה אחידה על כל הישר: סדרת הערכים איננה חסומה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]