יחס כפול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בהינתן רביעיית נקודות (a,b,c,d) במישור (הממשי או המרוכב), היחס הכפול ביניהן מוגדר בנוסחה: \frac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}. שמו של היחס הכפול מגיע מכך שהוא מתאר את היחס בין היחס \frac{(a-c)}{(a-d)} ובין היחס \frac{(b-c)}{(b-d)}.

היחס הכפול הוא שמורה של העתקת מביוס ושל העתקות פרויקטיביות.

בגלל האופי הסימטרי של ביטוי היחס הכפול, תמורות בין ארבע הנקודות (a,b,c,d) יניבו לכל היותר שישה ערכים שונים של היחסים הכפולים ביניהן. למשל, אם נחליף את (a,b,c,d) ב-(b,a,d,c) נקבל את הביטוי \frac{(b-d)(a-c)}{(b-c)(a-d)}, השווה ליחס הכפול המקורי.

ככלל, בהינתן רביעיית נקודות בעלת יחס כפול \lambda, שינוי סדר הקואורדינטות בה יניב את הערכים הבאים:

תמורה תיאור קצר ערכו של היחס הכפול
(z_1, z_2; z_3, z_4) תמורת הזהות  \lambda
(z_1, z_2; z_4, z_3) z_3\leftrightarrow z_4 \frac{1}{\lambda}
(z_1, z_3; z_2, z_4) z_2\leftrightarrow z_3 1-\lambda
(z_1, z_3; z_4, z_2) z_2\leftarrow z_4\leftarrow z_3 \leftarrow z_2 \frac{1}{1-\lambda}
(z_1, z_4; z_3, z_2) z_2\leftrightarrow z_4 \frac{\lambda}{\lambda-1}
(z_1, z_4; z_2, z_3) z_2\leftarrow z_3\leftarrow z_4\leftarrow z_2 \frac{\lambda-1}{\lambda}

היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ליחס הכפול ישנה הגדרה שונה ושקולה בגאומטריה פרויקטיבית: יהיו 
a= \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix}, \ 
b= \begin{pmatrix} b_0 \\ b_1 \end{pmatrix}, \ 
c= \begin{pmatrix} c_0 \\ c_1 \end{pmatrix}, \ 
d= \begin{pmatrix} d_0 \\ d_1 \end{pmatrix} ארבע נקודות על הישר הפרויקטיבי. כן תהיה T העתקה פרויקטיבית המקיימת T(a)=\infty, T(b)=0 ו־T(c)=1. היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית מוגדר להיות T(d).

הוכחת השקילות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מהיות a,b,c שלוש נקודות בעלות שתי דרגות חופש, ניתן לבטא את c כצירוף לינארי: c=\alpha a + \beta b. אולם, מכיוון שנקודות על הישר הפרויקטיבי אינן משתנות תחת כפל בקבוע, נסמן מחדש a=\alpha a ו־b=\beta b. כלומר, מתקיים T(\alpha a)=(1,0) (נקודת האינסוף בקואורדינטות הומוגניות) וכן T(\beta b)=(0,1) (נקודת האפס בקואורדינטות הומוגניות).

כמו את c, ניתן לבטא גם את d כצירוף לינארי: d = \gamma a + \delta b. מכך נובע: {\displaystyle T(d) = T\left(\frac{\gamma}{\alpha}(\alpha a) + \frac{\delta}{\beta}(\beta b)\right) = \frac{\gamma}{\alpha}(1,0) + \frac{\delta}{\beta}(0,1) = \left(\frac{\gamma}{\alpha}, \frac{\delta}{\beta}\right) = \left(\frac{\gamma \beta}{\alpha \delta} ,1 \right)}

באמצעות נוסחת קרמר ניתן לקבל ביטויים מפורשים למקדמים α‏, β‏, γ ו־δ, ומהם לקבל את השקילות בין שתי ההגדרות.