יחס (בין מספרים)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
בדגל ישראל, היחס הרשמי בין האורך לרוחב הוא 8:11

יחס בין מספרים הוא המנה של חלוקתם זה בזה. יחס בין שני מספרים מיוצג באמצעות הפרדתם זה מזה באמצעות נקודתיים, למשל 3:4. דוגמה: בהרכב הכימי של המים, H2O, היחס בין אטומי המימן לאטומי החמצן הוא 2:1. בדרך כלל מוצג יחס בין שני מספרים, אך ניתן להציג גם יחס בין שלושה מספרים ויותר. למשל, בהרכב הכימי של חומצה גופרתית, H2SO4, היחס בין האטומים הוא 2:1:4.

נהוג להציג יחס בין מספרים בצורתו המצומצמת. דוגמה: גובהו של יוסי 180 ס"מ, וגובהו של דני 120 ס"מ. היחס בין הגבהים שלהם הוא 180:120 כלומר 3:2. במידת האפשר מוצג היחס בין מספרים שלמים, ולכן בדוגמה הקודמת נעדיף את ההצגה 3:2 על-פני ההצגה 1.5:1. כאשר היחס הוא מספר אי-רציונלי, אי אפשר להציג את היחס במספרים שלמים. למשל בריבוע, היחס בין האלכסון לצלע הוא \sqrt{2} : 1.

משמעויות היחס[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן ביחס בין א' לבין ב', היחס 2:3. יש לקרוא: היחס בין א' לבין ב' הוא יחס של שתיים לשלוש. סדר הכתיבה בעברית מימין לשמאל ואילו סדר הכתיבה בחשבון משמאל לימין ולכן יש להקפיד ולא להתבלבל: הראשון שמספרים עליו ביחס יהיה גם הראשון משמאל שנכתוב ביחס.

ליחס הזה 4 משמעויות:

  • על כל שתי יחידות שיקבל א' יקבל ב' 3 יחידות
  • מכל סכום שיחולק לפי היחס הזה יקבל א' \frac{2}{5} ו-ב' יקבל \frac{3}{5}
  • א' קטן מ-ב' ב-\frac{1}{3} של ב'
  • ב' גדול מ-א' ב-\frac{1}{2} של א'

ידיעת היחס בין מספרים אינה מספקת מידע על גודלם של המספרים. בדוגמה של יחס של 2:3 יכולה להתאים לארוחות מבצע במזללה שבה על כל קניית שתי ארוחות מוגדלות מקבלים שלוש ארוחות ילדים בחינם, אבל גם לסיפור שבו על כל 42 שחקני כדורסל בבית הספר יש 63 שחקני כדורגל.

הכמות הכוללת צריכה להתחלק שווה בשווה ללא שארית בסכום של המונה ושל המכנה בייצוג המצומצם. בדוגמה של 2:3 סך הכמות שמייצג 2 ושמייצג 3 צריך להתחלק שווה בשווה וללא שארית ב-5 (כדי לאפשר שעל כל שתי יחידות של א' יהיו בדיוק 3 יחידות של ב')

יחסים נודעים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר היחס הוא מהצורה a:1 נהוג להציגו בצורת a בלבד. יחסים נודעים אחדים מסוג זה הם:

  • הקבוע  \pi (פאי): היחס הקבוע בין היקף מעגל לבין קוטרו.
  • יחס הזהב: שני גדלים מקיימים את יחס הזהב אם היחס בין סכום הגדלים לבין הגדול מביניהם שווה ליחס שבין הגדול מביניהם לקטן מביניהם. בנוסחה:
\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} ערכו של יחס הזהב הוא \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887...

ערך משולש[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר ידוע היחס בין זוג מספרים, וידוע לנו שיחס זה מתקיים גם בין מספר ונעלם, ניתן לחשב את הנעלם.‏[1]

כאשר נתונים משולשים דומים וידוע לנו אורך צלעותיו של משולש אחד, ורק אורך אחת מצלעותיו של המשולש האחר, נוכל לחשב, באמצעות ערך משולש, את אורכי הצלעות הנותרות. עניין זה מודגם במסכת ערובין: "והרוצה לידע כמה גובהו של דקל מודד קומתו וצלו וצל קומתו וידע כמה גובה של דקל".(תלמוד בבלי, מסכת ערובין, דף מ"ג, עמוד ב') נמחיש זאת: אדם שגובהו 1.75 מטר מודד את ומגלה שאורך צלו 2.50 מטר ואורך צלו של הדקל הוא 10 מטר. מה גובה הדקל? פתרון: מתקיים \ 10:x = 2.50:1.75. לפיכך \ x = \frac {1.75 \times 10}{2.50} = 7

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ דוגמה: חנות מכריזה על מבצע שבו ניתנת הנחה בשיעור אחיד על כל מוצריה. קונה רואה מוצר שמחירו המקורי 50 ש"ח ונמכר במבצע ב-40 ש"ח, כמה יעלה במבצע מוצר שמחירו המקורי 60 ש"ח?
    פתרון: ידוע לנו שהיחס בין המחיר במבצע למחיר המקורי הוא \ 40:50, ומתקיים \ x:60 = 40:50. לפיכך \ x = \frac {40 \times 60}{50} = 48