יציבותה של מערכת השמש

יציבותה של מערכת השמש היא אחת הבעיות הוותיקות במכניקה השמיימית, ומטרתה להבין את מסלולי כוכבי הלכת בטווח הארוך, ובפרט לברר האם בעוד כמה מיליארדי שנים תהיה מערכת השמש דומה לזו של היום. את הבעיה העלה אייזק ניוטון לאחר שפענח את חוק הכבידה האוניברסלי, והיא מעסיקה מאז אסטרונומים, פיזיקאים ומתמטיקאים.

הבעיה בפיזיקה קלאסית

חוק הכבידה, המתאר את המשיכה בין גופים כפונקציה של מסתם והמרחק ביניהם, מאפשר לתאר מערכת של שני גופים, כגון השמש וכוכב לכת אחד, בקלות יחסית: ניוטון הראה שבמקרה כזה שני הגופים ינועו במסלולים אליפטיים סביב מרכז הכובד המשותף שלהם. לעומת זאת, בעיית התנועה היחסית של שלושה גופים לא נפתרה באופן מלא עד היום. לכאורה ייתכן שהתנועה המחזורית של כוכבי הלכת תצבור השפעות הדדיות שעוצמתן תלך ותגבר, עד שכדור הארץ, או אחד מכוכבי הלכת האחרים, ישנה באופן דרמטי את מסלולו.

היסטוריה

בראשית דרכה הייתה בעיית היציבות קשורה במחלוקת תאולוגית. ניוטון סבר שההשפעה ההדדית של כוכבי הלכת צוברת אי-סדירויות עד שמפעם לפעם נדרשת התערבות אלוהית כדי להשאיר את הכוכבים במסילותם, בדומה לפתרון שהציע לפרדוקס בנטלי. ניוטון אף ראה בכך ראיה להשגחה כללית. בר הפלוגתא שלו, גוטפריד לייבניץ, דחה את ההשקפה הזו, בטענה שהיא מפחיתה מיכולותיו של האל, האמור כביכול להיזקק לנסים כדי לשמור על הבריאה מהתמוטטות. ויכוח זה הביא את פייר-סימון לפלס לנסח את עקרונות הדטרמיניזם: אם ישות בעלת תבונה עילאית יודעת היכן נמצא כל חלקיק חומר ביקום (דאז, היינו מערכת השמש) ומהי המהירות הרגעית של כל חלקיק, היא תוכל לחשב את מקומם לעדי עד.

התקדמות לפתרון השאלה

על בעיית היציבות עבדו מדענים רבים, והיא הביאה להתפתחות של תאוריות מתמטיות חשובות, כמו תורת ההפרעות ומשפט קולמוגורוב-ארנולד-מוסר . בכמה מודלים מקורבים של מערכת השמש אכן הוכחה יציבות, אלא שזה אינו פתרון לבעיה האמיתית. לבעיית היציבות השלכות גם על מערכות אחרות שבהן יש לעקוב אחרי תנועה מורכבת לאורך זמן, כגון שינויי אקלים או אפילו שמירת המסלול במאיץ חלקיקים, אחרי מיליוני הקפות בתוך הליבה המגנטית.

הגישה הישירה ביותר לבעיית היציבות היא לחשב באופן נומרי את תנועת כוכבי הלכת, על-פי הנתונים – המדויקים למדי – שיש היום לגבי המסלולים שלהם, ובהנחה שבאלו שאינם מוכרים פרטנית די הצורך (שביטים, אסטרואידים וכדומה) אפשר לטפל בכלים סטטיסטיים. בפני גישה זו עומדים שני מכשולים: ראשית, הדמיה שתישאר מדויקת לאורך מיליארדי שנים דורשת כלים נומריים מספקים. אלו אכן פותחו בשנות ה-90 של המאה ה-20, בדמות האלגוריתמים לאינטגרציה סימפלקטית המשמרים את מצב המערכת בממד גבוה. המכשול השני הוא כוח החישוב הדורש מערכות מחשב גדולות וייעודיות. הקושי כאן הוא שהדמיה לטווח ארוך היא בעיה סדרתית מטבעה, שקשה לה להיעזר ביכולות של חישוב מקבילי. מתברר שמערכת השמש כאוטית במובן מוגבל – הגודל והצורה של מסלולי הכוכבים יציבים למדי, אולם מקומו של כל כוכב לכת לאורך המסלול תלוי מאוד בתנאי ההתחלה, וסטייה קלה בנתוני ההווה עלולה להתפתח בתוך מיליוני שנים לסטייה גדולה במיקום.

התאוריה הכללית על מחזור החיים של כוכבים צופה שהשמש תהפוך לענק אדום בעוד כשמונה מיליארד שנים, ותבלע את כוכבי הלכת הפנימיים. מרבית התחזיות קובעות שעד אותה עת יישארו כל כוכבי הלכת במקומם, במסלולים דומים לאלו שאנו מכירים היום. יש הסתברות של כאחוז אחד לכך שמסלולו של כוכב חמה יהפוך אקסנצטרי במידה כזו שהוא יתנגש בנוגה לפני מות השמש.

הדמיות

שימוש בהדמיות מראה שמערכת השמש "מלאה", במובן שקשה להוסיף לה כוכב לכת באופן שישמור על היציבות שלה. זוהי ראיה לכך שבמערכת התרחש תהליך הפוך, כאשר היה בה עודף של כוכבי לכת שמסלוליהם לא היו יציבים, והם סולקו ממנה בזה אחר זה עד שנותרה המערכת שאנו מכירים היום. גילוים של כוכבי לכת במערכות שמש רחוקות מעלה את האפשרות שהתכונות של המערכות שאנו רואים מוכתבות בראש וראשונה על ידי דרישת היציבות, שבלעדיה אורך החיים של המערכת קצר מכדי שתיפול בחלקנו ההזדמנות לצפות בה.

מקורות

• Scott Tremaine, "Is the Solar System Stable?" The Institute Letter, Summer 2011