יריעת קאלאבי-יאו

בגאומטריה מרוכבת וגאומטריה אלגברית, יריעות קאלאבי-יאו (Calabi Yau) מהוות מחלקת יריעות בעלות תכונה גלובלית מסוימת. יש מספר הגדרות למושג זה הדומות אחת לשנייה אך לא שקולות. בהקשרים שונים מקובלות הגדרות שונות.

העיסוק ביריעות קאלאבי יאו החל מהשערה ששיער אאוג'ניו קאלאבי (Eugenio Calabi) ב-1957 והוכיח שינג-טונג יאו (Shing-Tung Yau) ב-1977.

ליריעות אלה חשיבות רבה בתורת המיתרים.

רקע

ב-1957 קאלאבי שיער שכל יריעת קהלר קומפקטית שמחלקת צ'רן הממשית הראשונה שלה מתאפסת (מחלקת צ'רן הממשית ה-n-ית של יריעה חלקה היא איבר מסוים בחבורת הקוהומולוגיה $H^{2n}(X,\mathbb {R} )$ ) היא בעלת מטריקת קהלר שעקמומיות ריצ'י שלה מתאפסת. למעשה קאלאבי שיער השערה חזקה יותר הנקראת השערת קאלאבי. השערה זו הוכחה ב-1977 על ידי Shing-Tung Yau.

השערה זו משכה את תשומת הלב ליריעות המקיימות את תנאי ההשערה, ויריעות אלה (ולעיתים מחלקות צרות יותר של יריעות) נקראו יריעות קאלאבי-יאו.

הגדרות

קיימות מספר הגדרות למושג יריעת קאלאבי-יאו. לפי המחמירה בהן, יריעה מרוכבת $M$ נקראת יריעת קאלאבי-יאו אם היא יריעת קהלר קומפקטית שאגד התבניות הדיפרנציאליות העליונות ההולומורפיות עליה טריוויאלי. במילים אחרות, קיימת תבנית דיפרנציאלית עליונה הולומורפית על $M$ שלא מתאפסת באף נקודה.

תנאי זה גורר שמחלקת צ'רן השלמה הראשונה של היריעה (ז"א מחלקת צ'רן הראשונה כאיבר בחבורת הקו-הומולוגיה השלמה $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ ) מתאפסת. ההפך אינו נכון באופן כללי.

לפי הגדרה פחות מחמירה יריעה מרוכבת $M$ נקראת יריעת קאלאבי-יאו אם היא יריעת קהלר קומפקטית כך שהתנאים השקולים הבאים מתקיימים:

ל- $M$ יש מרחב כיסוי מדרגה סופית המקיים את ההגדרה המחמירה של יריעת קאלאבי-יאו.
חזקה טנזורית מסוימת של אגד התבניות הדיפרנציאליות העליונות על $M$ טריביאלית.
מחלקת צ'רן הממשית הראשונה של $M$ מתאפסת. תנאי זה חלש יותר מהדרישה שמחלקת צ'רן השלמה הראשונה של היריעה מתאפסת.
על $M$ קיימת מטריקת קהלר שעקמומיות ריצ'י שלה מתאפסת. השערת קלבי, אותה הוכיח יאו גוררת שתנאי זה נובע מהקודם. הגרירה לכיוון השני פשוטה יותר.

קיימת גם הגדרת בינים שדורשת שמחלקת צ'רן השלמה הראשונה של היריעה מתאפסת.

כלליות שונות

בדרך כלל המושג יריעת קאלאבי-יאו מתייחס ליריעות חלקות וקומפקטיות. אולם לעיתים מרחיבים אותו ליריעות לא קומפקטיות ולא חלקות (בתנאי שהן יריעות גורנשטיין).

בגאומטריה אלגברית

המושג קאלאבי-יאו קיים גם בגאומטריה אלגברית. ניתן לחזור על ההגדרה למעלה גם עבור יריעה אלגברית $X$ מעל שדה $K$ כלשהו. בגאומטריה אלגברית יתר מקובלת ההגדרה החזקה, אם כי גם לחלק מהתנאים השקולים של ההגדרה החלשה יש משמעות. לפי ההגדרה אם $K=\mathbb {C}$ אז $X$ יריעת קאלאבי-יאו אם ורק אם היריעה המרוכבת של הנקודות שלה $X(\mathbb {C} )$ היא יריעת קאלאבי-יאו.

דוגמאות ומיון

אפשר לפרק את בעיות המיון של יריעות קאלאבי-יאו לשתיים:

מיון של הטיפוסים הטופולוגיים שלהן, ז"א מיון של היריעת עד כדי הומיאומורפיזם.
מיון של יריעות קאלאבי-יאו בעלות טיפוס טופולוגי נתון.

בממד 1, הטיפוס הטופולוגי האפשרי היחיד עבור יריעת קאלאבי-יאו הוא הטורוס, כלומר העקום מגנוס 1. מיון היריעות המרוכבות בעלות הטיפוס הטופולוגי הזה נתון על ידי העקום המודולרי (ז"א חצי המישור העלון מודולו טרנספורמציות מביוס הנתונות על ידי $SL_{2}(\mathbb {Z} )$ ). כל יריעה מרוכבת מטיפוס זה היא יריעת קאלאבי-יאו.

בממד 2 יש שני טיפוסים טופולוגיים אפשריים ליריעות קאלאבי-יאו: הטורוס מהממד המתאים, ומשטחי K3.

המיון של יריעות קאלאבי-יאו מממד 3 הוא בעיה פתוחה, שחשיבותה רבה בגלל הקשר לתורת המיתרים בפיזיקה תאורטית. יאו עצמו שיער שיש מספר סופי של טיפוסים טופולוגיים אפשריים של יריעות כאלה, אמנם יש המשערים שמספר הטיפוסים הוא אין סופי. בשנת 2002 נבנו (בעזרת מחשב) למעלה מ 473 מיליון טורי טבלאות של יריעות קאלאבי-יאו שונות מממד 3^[1]. בריאן גרין כותב בספרו היקום האלגנטי (בפרק העוסק בקשר בין יריעות קאלאבי יאו לתורת המיתרים) שישנם עשרות אלפי טיפוסים טופולוגיים אפשריים של יריעות קאלאבי-יאו המתאימות לדרישות המחמירות של הממדים הנוספים שמחייבת תורת המיתרים (ראה להלן).

הקשר לתורת המיתרים

באחד המודלים המקובלים של תורת המיתרים, העולם הוא בעל עשרה ממדים. ממדים אלו כוללים את שלושת ממדי המרחב המוכרים לנו, ממד הזמן, ושישה ממדים 'מכורבלים', שהמבנה המדויק שלהם עדיין אינו ידוע. ב-1985 גילו P. Candelas, G. Horowitz, A. Strominger ואדווארד ויטן, שהתנאים לכך שאותם ממדים מכורבלים יתמכו בגרסה סופרסימטרית של המודל הסטנדרטי, שקולים לכך שממדים אלה מהווים יריעת קאלאבי-יאו מממד 3 מעל המרוכבים (שממדה מעל הממשיים 6). בנוסף, הם הראו שקבועים יסודיים של המודל הסטנדרטי (כגון מסות של חלקיקים) ניתנים להמרה לפרמטרים מספריים, הקובעים את הגאומטריה של אותה יריעת קאלאבי-יאו.

אחת הבעיות הקשות בפניה ניצבת תורת המיתרים המודרנית היא לפתור את המשוואות המאפשרות לבחור איזו יריעת קאלאבי יאו (מתוך המבחר הענק) מתאימה לחלקיקים ולכוחות הנצפים ביקום שלנו. לדוגמה יריעה עם בדיוק 3 'חורים' טופולוגיים רב ממדיים - תתן הסבר עמוק לשאלה מדוע יש ביקום הנצפה בדיוק 3 משפחות חלקיקים יסודיים, אך ישנם הרבה מאוד יריעות קאלאבי יאו העונות על דרישה זו.