יריעה אלגברית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-colors-emblem-development.svg ערך זה נמצא בתהליך עבודה מתמשך. הערך פתוח לעריכה.
אתם מוזמנים לבצע עריכה לשונית, ויקיזציה וסגנון לפסקאות שנכתבו, וכמו כן לעזור להרחיב ולהשלים את הערך.
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

יריעות אלגבריות (ובאופן כללי יותר סכמות) הן אובייקט המחקר המרכזי בגאומטריה אלגברית. באופן אינטואיטיבי, יריעה אלגברית היא אובייקט גאומטרי שנראה מקומית כמו יריעה אלגברית אפינית, (זאת אומרת קבוצת אפסים של מערכת משוואות פולינומית במספר משתנים). בדומה למרחב וקטורי, יריעות אלגבריות מוגדרות תמיד מעל שדה . בדרך כלל סגור אלגברית.

תוכן עניינים

רקע[עריכת קוד מקור | עריכה]

יריעות אפיניות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – יריעה אלגברית אפינית

בגישה הקלאסית, יריעה אלגברית אפינית הוגדרה כקבוצת כל האפסים של משפחת פולינומים מעל שדה סגור אלגברית k. כלומר: אם הם קבוצת פולינומים ב-n משתנים (כלומר: אזי היריעה האפינית המוגדרת על ידם היא

.

באופן יותר מדויק, מסתכלים על המרחב האפיני כמרחב ה-n-יות של מספרים משדה k כאשר שוכחים את המבנה הטבעי של מרחב וקטורי שיש ל-. על מרחב זה מגדירים k-אלגברה של פונקציות רגולריות מ- ל-k. במקרה האפיני פונקציות רגולריות אלה הן פולינומים ב-n משתנים. כלומר: . נשים לב ש-k-אלגברה זו היא חוג נתרי לפי משפט הבסיס של הילברט, דבר המבטיח שהיא מקיימת מספר תכונות שימושיות, למשל: כל אידאל בה הוא נוצר-סופית. על המרחב מגדירים טופולוגיית זריצקי ההופכת אותו למרחב נתרי. בטופולוגיה זו כל הקבוצות הסגורות הם בדיוק הקבוצות מהצורה באשר הוא אידאל ב-. מאחר ש- היא אלגברה נתרית נוצר סופית ולכן יש מספר סופי של פולינומים היוצרים את . כמו כן מתקיים , ולכן כל הקבוצות הסגורות הן בעצם קבוצות האפסים המשותפים של משפחות סופיות של פולינומים. לקבוצות כאלה קוראים "קבוצות אלגבריות".

תהי קבוצה אלגברית. אזי חוג הפונקציות הרגולריות עליה ניתן על ידי . אם אידאל ראשוני אז היא יריעה אפינית אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי. יריעה אי-פריקה היא יריעה שאי-אפשר להציגה כאיחוד של שתי תת-קבוצות סגורות החלקיות ממש ליריעה.

נשים לב שעבור יריעות אפיניות החוג של הפונקציות הרגולריות

הוא k-אלגברה נוצרת-סופית ללא איברים נילפוטנטיים. משפט האפסים של הילברט נותן אפיון לקשר בין תת-יריעות סגורות של לאידאלים של .

יריעות פרויקטיביות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – יריעה אלגברית פרויקטיבית

יריעות קווזי-אפיניות וקווזי-פרויקטיביות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – יריעה קווזי-אפינית, יריעה קווזי-פרויקטיבית

מגבלות של יריעות קווזי פרויקטיביות[עריכת קוד מקור | עריכה]

למרות המגוון הרחב של יריעות קווזי פרויקטיביות יש להן מגבלות רבות. ראשית, הצורך לקבוע שיכון למרחב פרויקטיבי על מנת לדבר על היריעה איננו טבעי. ברמה היותר פרקטית, מסובך לבצע בנייות גאומטריות בסיסיות עם יריעות קווזי פרויקטיביות, ולעתים אף בלתי אפשרי. לדוגמה לא ברור איך להגדיר מבנה של יריעה (קווזי) פרויקטיבית על מכפלה קרטזית של יריעות (קווזי) פרויקטיביות. הדבר ניתן לביצוע על ידי שיכון של מכפלה של מרחבים פרויקטיבים למרחב פרויקטיבי, הנקרא שיכון סגרה, אך פתרון זה איננו טריוויאלי, ומעלה משמעותית את ממד המרחב הפרויקטיבי אליו משוכנת היריעה. דוגמה נוספת היא פעולת ההדבקה. בהינתן שני מרחבים טופולוגיים ו- ושיכונים פתוחים ו ניתן להגדיר את ההדבקה לאורך בתור האיחוד הלא קשיר מודולו יחס השקילות . פעולה זאת אינה ניתנת לביצוע ליריעות קווזי פרויקטיביות. הצורך בביצוע פעולה זאת מהווה את המוטיבציה המרכזית להגדרה המודרנית של יריעה אלגברית.

הגדרה פורמלית באמצעות אלומת פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן אינטואיטיבי, ניתן להגדיר יריעה אלגברית כללית בתור "תוצר ההדבקה של מספר יריעות אפיניות". ברמה הפורמלית יש להגדיר מחלקה רחבה יותר של אובייקטים גאומטריים שיריעות אלגבריות מהוות חלק ממנה, ולהגדיר את ההדבקה במחלקה זאת. ישנן מספר מחלקות כאלה. אחת הפופולרית בהן היא "אוסף המרחבים הטופולוגיים עם אלומות פונקציות".

מרחב עם אלומת פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי מרחב טופולוגי. אלומת פונקציות (עם ערכים ב ) על היא התאמה אשר מתאימה עבור כל קבוצה פתוחה , תת-אלגברה (עם יחידה) של אלגברת הפונקציות מ ל , כך שמתקיים:

  • לכל קבוצה פתוחה , אם אז הצימצום של ל שיך ל
  • לכל כיסוי פתוח , אם אז

אם קבוצה פתוחה אז ניתן להגדיר את הצמצום של ל- על ידי , לכול קבצה פתוחה .

זוג המורכב ממרחב טופולוגי ואלומת פונקציות עליו נקרא מרחב עם אלומת פונקציות. אם הוא מרחב עם אלומת פונקציות אז נקראת אלומת המבנה של . יהיו ו מרחבים עם אלומות פונקציות. העתקה נקראת מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות אם רציפה ולכל ו- מתקיים :.

אוסף המרחבים עם אלומות פונקציות הוא קטגוריה, בפרט שני מרחבים עם אלומות פונקציות ו- נקראים איזומורפיים אם קיימות העתקות ו של מרחבים עם אלומות פונקציות כך ש: ו .

מרחבים עם אלומות פונקציות הם מקרים פרטיים של מרחבים מחויגים.

יריעות אפיניות כמרחב עם אלומת פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי יריעה אפינית. תהי קבוצה פתוחה. מכיוון ש- היא יריעה קווזי-אפינית, ניתן להגדיר את חוג הפונקציות הרגולריות על . קל לראות שההתאמה נותנת אלומת פונקציות. מכאן ש- מצוידת בטופולוגיה של זריצקי יחד עם אלומת הפונקציות הרגולריות מהווה מרחב עם אלומת פונקציות. קל לראות כי העתקה היא מורפיזם של יריעות, אם"ם היא מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות. במילים אחרות קטגוריית היריעות האפיניות היא תת-קטגוריה מלאה בקטגוריית המרחבים עם אלומות פונקציות.

לא כל מרחב עם אלומת פונקציות הוא יריעה אפינית. יריעה אפינית היא מרחב עם אלומת פונקציות שמקיים את התכונות הבאות:[1]

  1. חתך הפונקציות הרגולריות גלובלית על שנסמנו הוא k-אלגברה נוצרת סופית.
  2. ההעתקה מקבוצת המורפיזמים של מרחבים עם אלומת פונקציות לקבוצת ההומומורפיזמים של k-אלגבראות ששולחת את ל- כאשר , היא חח"ע ועל (bijection) לכל מרחב עם אלומת פונקציות .

הגדרה של יריעה אלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב עם אלומת פונקציות נקרא יריעה אלגברית אם קיים כיסוי פתוח סופי

כך ש: איזומורפי (כמרחב עם אלומת פונקציות) ליריעה אלגברית אפינית. מורפיזם של יריעות מוגדר ליהיות מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות. הטופולוגיה על יריעה נקראת הטופולוגיה של זריצקי.

מורפיזם בין יריעות אלגבריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מורפיזם של יריעות מוגדר בתור מורפיזם בין מרחבים עם אלומת פונקציות. במילים אחרות קטגורית היריעות האלגבריות מוגדרת ליהיות התת-קטגוריה המלאה של קטגורית המרחבים עם אלומות פונקציות, שהאובייקטים שלה הם יריעות אלגבריות.

פעולות עם יריעות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בניות קטגוריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוסף היריעות האלגבריות הוא קטגוריה. בקטגוריה זאת קיימים גבולות הפוכים סופיים, וגבולות ישרים מסוימים. בפרט ניתן להגדיר את הבניות הבאות:

  • אובייקט תחילי - על הקבוצה הריקה יש מבנה יחיד של יריעה אלגברית
  • אובייקט סופי - על קבוצת היחידון (ולמעשה על כל קבוצה סופית) יש מבנה יחיד של יריעה אלגברית
  • קו-מכפלה - עבור 2 יריעות אלגבריות ו- ניתן להגדיר מבנה טבעי של יריעה אלגברית על האיחוד הלא קשיר של ו- באופן הבא:
  • pushout - באופן דומה אפשר להגדיר מבנה של יריעה על הדבקה של שתי יריעות לאורך תת-קבוצה פתוחה. ניתן גם להגדיר הדבקה של יריעוֹת לאורך תת-קבוצה סגורה.
  • מכפלה - על המכפלה הקרטזית של שתי יריעות ו- ניתן להגדיר מבנה של יריעה. עם זאת, טופולוגיית זריצקי על היריעה איננה טופולוגיית המכפלה של היריעה . אם ו אפיניות אז ניתן להגדיר את מבנה היריעה (האפינית) על בקלות, למשל בהתבסס על השיכון למרחב אפיני. במקרה הכללי ניתן לכסות את ו על ידי יריעות אפיניות, ומכאן להגדיר את מבנה היריעה על .
  • מכפלת סיבים - יהיו העתקות של יריעות אלגבריות. מכפלת הסיבים היא תת-קבוצה סגורה (זריצקי) במכפלה מכאן ניתן להגדיר עליה מבנה של יריעה.
  • גבול הפוך - עבור כל דיאגרמה סופית של יריעות אלגבריות ניתן לבטא את הגבול ההפוך על פי באמצעות מכפלות סיבים ולכן הגבול קיים בקטגוריה של יריעות אלגבריות.

בניות אינפיניטסימליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בנוסף ניתן להגדיר בניות רבות המוגדרות עבור יריעות חלקות בטופולוגיה דיפרנציאלית וגאומטריה דיפרנציאלית עבור יריעות אלגבריות. לדוגמה עבור יריעה אלגבריות ונקודה ניתן להגדיר את המרחב המשיק ל- ב-. מושג המרחב המשיק הוא מקומי. לכן די להגדירו עבור יריעה אפינית. במקרה זה הוא המרחב הדואלי ל-, כאשר הוא אידאל הפונקציות שמתאפסות ב-.

מחלקות של יריעות והעתקות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונות טופולוגיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

טופולוגית זריצקי על יריעה אלגברית איננה משקפת את המבנה הגאומטרי של היריעה. למשל, היא כמעט לעולם אינה האוסדורפית ותמיד (קווזי-) קומפקטית. לכן רוב המושגים מטופולוגיה (ובפרט מטופולוגיה אלגברית) לא יהיו רלוונטיים עבור יריעות אלגבריות, ובדרך כלל יהיה צורך להגדיר אנלוגים שלהם באמצעות שאר המבנה על יריעה אלגברית. עם זאת יש מספר מושגים בסיסיים שניתן להגדיר על ידי הטופולוגיה בלבד.

  • יריעה אלגברית נקראת אי-פריקה (irreducible) אם היא אי-פריקה כמרחב טופולוגי, זאת-אומרת שלא ניתן להציגה כאיחוד של שתי קבוצות סגורות שאינן היריעה כולה.
  • יריעה אלגברית נקראת קשירה אם היא קשירה כמרחב טופולוגי. לעתים, כאשר היריעה מוגדרת מעל משתמשים במונח קשירה ביחס לטופולוגיה המטרית ואילו במונח "אי-פריקה" ביחס לטופולוגיית זריצקי.
  • הממד של יריעה יריעה הוא ממד קרול שלה כמרחב טופולוגי, זאת-אומרת האורך המקסימלי של שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות אי-פריקות שאינן היריעה כולה.

תכונות גלובליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

שתי מחלקות בסיסיות של יריעות אלגברית הן יריעות פרידות ויריעות שלמות.

  • יריעה נקראת פרידה אם האלכסון הוא קבוצה סגורה (זריצקי) ב . מושג זה אנלוגי להאוסדורפיות.
  • יריעה נקראת שלמה אם לכל יריעה ההטלה היא העתקה סגורה (זאת-אומרת שהיא מעבירה קבוצה סגורה לקבוצה סגורה). מושג זה אנלוגי לקומפקטיות

הערה: אם נחזור על הגדרות אלה עבור מרחבים טופולוגיים, נקבל הגדרות שקולות להאוסדורפיות וקומפקטיות. אולם מושגים אלה אינם שקולים להאוסדורפיות וקומפקטיות (לפי טופולגית זריצקי) מכיוון שטופולגיית המכפלה על שונה מהטופולגיה על .

בנוסף יש עוד תכונות גלובליות רבות הנחקרות בגאמטריה אלגברית, למשל תכונות המבוססות על מושג השקילות הבירציונלית (כמו רציונליות) ותכונות המבוססות על אלומות קוהרנטיות (כמו Fano ו Calabi-Yau)

תכונות מקומיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התכונה המקומית הבסיסית של יריעות אלגבריות היא חלקות. יריעה אלגברית נקראת חלקה בנקודה אם ממד המרחב המשיק ל בנקודה שווה לממד היריעה בנקודה . יריעות אלגבריות חלקות דומות מאוד למרחב אפיני באופן מקומי, אף על פי שאין איזומורפיזם בין סביבת זריצקי של נקודה חלקה לקבוצה פתוחה במרחב אפיני. לכן כאשר חוקרים את המבנה המקומי של יריעה אלגברית מתעניינים בדרך כלל ביריעות סינגולריות (זאת-אומרת לא חלקות) ומחקר זה נקרא תורת הסינגולריות. בין התכונות השונות של סינגולריות אפשר למנות: נורמליות, כהן-מקולי, גורנשטין, חיתוך מלא, מחלק עם חיתוך נורמלי, סינגולריות רציונלית, סינגולריות (לוג) קנונית, סינגולריות (לוג) טרמינאלית, סינגולריות סמפלקטית ועוד.

העתקות ומשפחות של יריעות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחת הדרכים לחשוב על העתקה בין יריעות אלגבריות היא בתור משפחה של יריעות אלגבריות, כאשר הפרמטר של המשפחה היא נקודה שנעה ב , ולכל נקודה אנו מתאימים את היריעה . לפי הגישה היחסית של גרותנדיק אפשר לנסות להכליל כל מושג שהוגדר עבור יריעות אלגבריות, גם עבור משפחה של יריעות אלגבריות או במילים אחרות - העתקות. בצורה זאת ניתן להגדיר את המושגים הבאים:

תכונות אלו הן בעצם תכונות של משפחות של יריעות יותר משהן תכונות של העתקות. תכונות כאלה תמיד מקומיות (על פי הטווח). יש גם תכונות מקומיות שאין להן גרסה מובהקת עבור יריעה, למשל, העתקה סופית, העתקה קווזי סופית, העתקת אטל והעתקה שטוחה (על שלוש הדוגמאות הראשונות אפשר לחשוב כעל גרסאות יחסיות שונות של יריעות סופיות). יש גם תחונות של העתקות שאינן מקומיות כלל למשל שקילות בירציונלית.

מונחים שונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבחינה היסטורית נלמדו תחילה יריעות אפיניות אז יריעות פרויקטיביות אחריהן יריעות קווזי פרויקטיביות ולבסוף יריעות כללית, שהוגדרו זמן קצר לפני סכמות שהן הכללה מרחיקת לכת של יריעות. לפני שנוסחה ההגדרה המודרנית של יריעה, המלה יריעה התייחסה רק ליריעות קווזי-פרויקטיביות, עד היום ישנם ספרים שמשתמשים בשם יריעות רק עבור יריעות קוזי-פרויקטיביות ודנים בשאר היריעות במסגרת דיון כללי יותר על סכמות. רוב המקורות משתמשים במילה יריעות במובן רחב יתר אך לפעמים מוסיפים מגבלות מסוימות. במקרים רבים דורשים מיריעה להיות פרידה ולעתים גם בלתי פריקה.

מאידך לעתים המושג יריעות אלגבריות כולל גם יריעות מעל שדות לא סגורים אלגברית. במקרה כזה ההגדרה למעלה לא תקפה כיוון שיש מערכות משוואות פולינומיות ללא פתרונות מעל שדה לא סגור אלגברית שהיריעה שהם מגדירים אינה ריקה. לדוגמה המשוואה מגדירה יריעה לא ריקה מעל אולם אין לה פתרונות מעל . יש מספר הגדרות אלטרנטיביות שתקפות לשדות לא סגורים אלגברית (ראה להלן) אך בדרך כלל מטפלים במקרה זה במסגרת כללית יתר של סכמות.

מונחים בשפות שונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

באנגלית יריעה אלגברית נקראת "algebraic variety". בעברית וגם ברוסית, המילה "יריעה" משמשת גם לתיאור יריעה טופולוגית ובפרט יריעה חלקה, שבאנגלית נקראת "manifold". במקרים רבים יריעה אלגברית היא גם יריעה חלקה, אך יש לזכור שמדובר בשתי קטגוריות שונות זו מזו.

נקודות של יריעה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפי ההגדרה שמופיעה למעלה יריעה אלגברית היא קבוצה עם מספר מבנים נוספים (טופולוגיה ואלומת פונקציות). לקבוצה זאת קראים לעתים קבוצת ה-נקודות של היריעה, כאשר הוא השדה מעליו מוגדרת היריעה. מסמנים קבוצה זאת .

הצורך להפריד בין יריעה לקבוצה מגיע מהמקרה של יריעות המוגדרות מעל שדות לא סגורים אלגברית (או באופן כללי יתר סכמות), במקרה זה ההגדרה של יריעה אלגברית שונה, והקשר בין היריעה לקבוצת הנקודות שלה חלש יותר. לדוגמה היריעה המוגדרת על ידי המשוואה לא ריקה אך קבוצת ה -נקודות שלה ריקה.

בנוסף, הפרדה זאת מאפשרת להגדיר מבנים נוספים על הקבוצה שאינם מתואמים עם המבנים על היריעה (הטופולוגיה ואלומת הפונקציות). למשל, אם השדה הוא שדה טופולוגי אז ניתן להגדיר טופולוגיה מתאימה על קבוצת ה-נקודות של היריעה. טופולוגיה זאת תהיה בדרך כלל חזקה יותר מהטופולגיה של זריצקי. במקרה שהיריעה היא אפינית טופולוגיה זאת מוגדרת להיות הטופולוגיה המושרת מ (קל לראות שהטופולוגיה לא תלויה בצורה שאנו מציגים את היריעה בתור קבוצה סגורה זריצקי ב-). ליריעה כללית קבוצה נקראת פתוחה אם לכל קבוצה פתוחה אפינית הקבוצה פתוחה ב .

קשר עם יריעות אנליטיות וחלקות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – יריעה אנליטית, יריעה חלקה

אם היא יריעה אלגברית חלקה המוגדרת מעל שדה המספרים המרוכבים אז ניתן להגדיר על קבוצת הנקודות שלה, , מבנה של יריעה חלקה באופן הבא: במקרה ש היא יריעה אפינית חלקה אז קל לראות ש היא תת-יריעה חלקה של . במקרה הכללי בוחרים כיסוי פתוח של על ידי יריעות אפיניות, והוא מגדיר אטלס חלק.

באופן דומה, אם היא יריעה אלגברית המוגדרת מעל אז ניתן להגדיר על , מבנה של יריעה אנליטית.

בנייות דומות קימות גם לשדות לא סגורים אלגברית. בפרט אם היא יריעה אלגברית חלקה המוגדרת מעל שדה המספרים הממשיים אז ניתן להגדיר על מבנה של יריעה חלקה. כמו כן אם היא יריעה אלגברית המוגדרת מעל שדה מקומי אז ניתן להגדיר על מבנה של יריעה אנליטית מעל .

אגדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אגד וקטורי

בדומה למרחבים טופולוגיים ויריעות דיפרנציאבילות, המושג אגד קיים גם על יריעות אלגבריות. ניתן להגדיר אגד על יריעה אלגברית בתור יריעה אלגברית , יחד עם מורפיזם ומבנה של מרחב וקטורי על הסיב של כל נקודה כך שמקומית (בטופולוגית זריצקי) מבנה זה איזומורפי ל כאשר הוא מרחב לינארי.

לאגדים בגאומטריה אלגברית יש את אותם תפקידים אשר לאגדים בטופגולוגיה דיפרנציאלית. ביפרט עבור יריעה אלגברית חלקה נתן להגדיר את האגד המשיק ואגדים קשורים אליו (אגד קו-משיק, אגד התבניות הדפרנציאליות, ועוד). ישנם מספר אגדים בטופולוגיה דיפרנציאלית שאין להם אגד מגביל על יריעות אלגבריות, למשל אגד האורנטציות ואגד הצפיפוית. זאת משום שהגדרה של אגדוים אלה מתבססת על יחס הסדר ב . בנוסף בגאומטריה אלגברית יש חשיבות מיוחדת לאגדים חד ממידיים. אלה נקראים אגדים קווים, ונחקרים בעיקר במונחים של אלומות קוהרנתיות (ראה להלן).

אלומות על יריעות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אלומה

אחד הכלים המרכזיים לחקר יריעות אלגבריות הוא חקר של סוגים שונים של אלומות עליהן. בין היתר, אלומות משמשות למטרות הבאות:

אלומות קוהרנטיות וקווזי קוהרנטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – אלומה קוהרנטית, אלומה קווזי-קוהרנטית

הסוגים הבסיסיים של אלומות על יריעות אלגבריות הן אלומות קוהרנטיות וקווזי-קוהרנטיות. על יריעה אפינית ניתן להגדיר אלומות קווזי קוהרנטיות באופן הבא: בהינתן מודול מעל נגדיר אלומה על ידי . אלומות שמתקבלות באופן זה נקראות קווזי קוהרנטיות.

אם נוצר סופית אז האלומה תקרא קוהרנטית. קטגוריית האלומות הקווזי-קוהרנטיות על יריעה אפינית שקולה לקטגוריית המודולים מעל חוג הפוניקציות הגלובליות על הירעה. באופן דומה קטגוריית האלומות הקוהרנטיות על יריעה אפינית שקולה לקטגוריית המודולים נוצרים סופית מעל חוג הפוניקציות הגלובליות על היריעה.

ממשפט סר נובע שתכונת ה (קווזי-)קוהרנטיות היא מקומית. זאת אומרת שאם הוא כיסוי פתוח אפיני של יריעה אפינית אז אלומה על היא (קווזי-)קוהרנטית אם היא (קווזי-)קוהרנטית. עבור יריעה לא אפינית, אלומה (קווזי-)קוהרנטית מוגדרת להיות אלומה שהיא (קווזי-)קוהרנטית באופן מקומי.

במקור השתמשו באלומות קוהרנטיות כדי לחקור אפסים וקטבים של פונקציות רציונליות. מחקר זה הוביל למשפט רימן-רוך, מחקר ההומולוגיה של אלומות קוהרנטיות ודואליות סר.

קשר לאגדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אלומות קוהרנטיות משמשות גם למחקר של משפחות מרחבים לינאריים בעלות פרמטר שנע ביריעה אלגברית. בהינתן אלומה קוהרנטית על יריעה אלגברית ניתן להגדיר את הסיב של בנקודה על ידי

,

כאשר היא סביבה פתוחה אפינית של , ו הוא האידאל המקסימלי שמתאים לנקודה .

אם האלומה היא חופשית מקומית, זאת אומרת שקיים כיסוי אפיני פתוח כך ש הוא מודיל[דרושה הבהרה] חופשי מעל , אז על מערכת המרחבים יש מבנה טבעי של אגד. זאת אומרת שקיים אגד כך שהסיבים שלו איוזומורפיים קנונית לסיבי האלומה . יתר על כן ההתאמה מדירה[דרושה הבהרה] שקילות קטגורית בין קטגוריית האלומות החופשיות על מקומית וקטגוריית האגדים על .

לאור האמור למעלה, לעתים מגדירים אגד וקטורי על יריעה אלגברית בתור אלומה קוהרנטית חופשית מקומית. כמו כן ניתן לחשוב על אלומות קוהרנטיות בתור הכללת המושג אגד. הכללה זאת מאפשרת להגדיר גרסאות של האגדים הסטנדרטיים מטופולוגיה דיפרנציאלית גם עבור יריעות לא חלקות. לדוגמה, אף על פי שעל יריעה אלגברית לא חלקה לא ניתן להגדיר את האגד הקו-משיק (זאת אומרת אגד שסיביו הם המרחבים הקו משיקים), ניתן להגדיר את האלומה הקו-משיקה (אלומה שסיביה הם המרחבים הקו משיקים).

קטגורית האלומות הקוהרנטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קטגורית האלומות ה (קווזי-)קוהרנטיות היא קטגוריה אבלית. שתי הקטגוריות כמו גם הקטגוריות הנגזרות שלהן הן אינווריאנטים חשובים של יריעה אלגברית. חקר היחסים בין קטגורית אלה עבור יריעות שונות מתואר בספר Residues and duality. חקר זה מכיל בין היתר את דואליות גרותנדיק שהיא הכללה של דואליות סר.

סוגי אלומות נוספים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אלומות קונסטרקטביליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – אלומה קונסטרקטבילית

טופולוגית זריצקי היא טופולוגיה חלשה מאוד. היא אומנם מספיקה למחקר בסיסי של יריעות אלגבריות אך איננה משקפת את המבנה של היריעה מנקודת מבט של טופולוגיה אלגברית. לכן קשה לחקור את הגאומטריה של היריעה על ידי אלומות בטופולוגית זריצקי. אם יריעה מוגדרת מעל שדה המרוכבים אז על יש טופולוגיה המושרית מהטופולוגיה של . קטגוריית האלומות בטופולגיה זאת משקפת את המבנה הגאומטרי של היריעה טוב יותר. חשיבות מיוחדת ניתנת לאלומות קבועות מקומית בטופולוגיה זאת. קטגוריית האלומות הקבועות מקומית אינה נשמרת תחת פעולות בסיסיות עם אלומות (כגון דחיפה ומשיכה). אלומות קונסטרקטביליות (ניתנות לבניה) מוגדרות בתור כל האלומות שמתקבלות מדחיפה ומשיכה של אלומות קבועות מקומית, תחת העתקות אלגבריות.

אלומות אטל[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – אלומת אטל, טופולוגית אטל

הטופולוגיה הנ"ל על איננה מוגדרת במונחים של גאומטריה אלגברית, ובפרט אינה ניתנת להכללה לשדות סגורים אלגברית כלליים. בשנות החמישים והשישים גרותנדיק פיתח מספר אנלוגים לטופולוגיה זאת המוגדרים במונחים של גאומטריה אלגברית ותקפים מעל שדה כלשהו. האנלוג הנפוץ ביותר הוא טופולוגיית אטל. טופולוגיית אטל איננה טופולוגיה במובן הרגיל של המילה, אלא במובן כללי יותר שנקרא טופולוגית גרוטנדיק. המושג טופולוגיית גרותנדיק תוכנן כך שיהיה אפשר להגדיר את המושג אלומה על מרחב המצויד בטופולוגיית גרותנדיק. אלומות על יריעה אלגברית ביחס לטופולוגיית אטל נקראות אלומות אטל. טופולגיית אטל לא מהווה תחליף מושלם לטופולוגיה על . בעוד שאלומות של קבוצות (וחבורות) סופיות בטופולוגיית אטל דומות מאוד לאלומות עלֹ (למשל קטגורית האלומות הקבועות מקומית של קבוצות סופיות בטופולוגעיית אטל על , שקולה קטגורית האלומות הקבועות מקומית בעלות גבעולים סופיים על ) אלומות של קבוצות (וחבורות) אין-סופיות בטופולוגיית אטל לא דומות כלל לאלומות עלֹ ועניות הרבה יותר.

באנלוגיה עם המקרה המרוכב, ניתן להגדיר עבור כל שדה וכל יריעה המוגדרת מעל את המושג אלומות אטל קונסטרוקטביליות מעל . בפרט, עבור חוג סופי נתן להגדיר את המושג אלומות אטל קונסטרוקטביליות של -מודולים מעל . מקרה פרטי חשוב הוא כאשר החוג הסופי הוא עבור מספר ראשוני הזר למצין השדה . בדרך כלל הביטוי אלומות אטל מתייחס למקרה זה.

אלומת -אדיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – אלומה -אדית, אלומות ויל

כאמור, אם אינו חוג סופי, אז אלומות אטל של -מודולים אינן משקפות את הגאומטריה של . לכן לא ניתן להגדיר אלומות אטל של -מודולים. תחת זאת משתמשים בבניה הבאה: משאיפים את לאינסוף ומקבלים קטגוריה שנקראת "קטגוריית האלומות הקונסטרוקטביליות של -מודולים" או בקצרה "קטגוריית האלמות ה--אדיות". למרות שמה, האובייקטים בקטגוריה זאת אינם אלומות כלל. בפרט הן אינן אלומות של -מודולים בטופולוגיית אטל. מקטגוריה זאת ניתן לבנות קטגוריוה הנקראת "קטגוריית האלומות הקונסטרוקטביליות של -מודולים". באופן דומה עבור כל הרכבה של ניתן להגדיר אלמות הקונסטרוקטביליות של -מודולים ו-מודולים. על ידי מעבר לגבול מקבלים את הקטגוריות של האלומות הקונסטרוקטביליות של -מודולים ו-מודולים. כל סוגי האלומות האלה נקראות לעתים "אלמות -אדיות".

מכוון ש איזומורפי ל אפשר להגדיר כך (באופן לא קנוני) אלומות מרוכבות ליריעה אלגברית מעל שדה כלשהו. מכאן אפשר להגדיר הומולוגיות עם מקדמים ב ומספרי בטי ליריעה אלגברית מעל שדה כלשהו. בניה זאת מראה בפרט שעם היא יריעה אלגברית מרוכבת ו היא יריעה המתקבלת מ על ידי הפעלת אוטומורפיזם על שדה המרוכבים אז מספרי בטי של ו שווים. טענה זאת עלולה להפתיע מכיוון שהחבורות היסודית של ו שונות במקרים מסוימים. כאשר הוא שדה סופי פייר דלין הגדיר גרסה מעט שונה לאלומה -אדית הנקראת אלומת ויל. אלומות -אדיות ואלומת ויל משחקות תפקיד מרכזי בהוכחה של השערות וויל.

D-מודולים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – D-מודולים

משתמשים באלומת גם כדי לחקור מערכות משוואות דיפרנציאליות על יריעות אלגבריות.

כמו שבשביל לחקור משוואות פולינומיות בתורת גלואה משתמשים בסדרות, וכדי לחקור מערכות משוואות פולינומיות משתמשים באלגבראות, כך גם כדי לחקור מערכות משוואות דיפרנציאליות חלקיות לינאריות משתמשים במודולים מעלֹ חוג האופרטורים הדיפרנציאליים ב משתנים. אם רוצים לחקור משוואות דיפרנציאליות חלקיות על יריעה אלגברית אפינית חלקה אז יש להחליף את חוג האופרטורים הדיפרנציאליים ב משתנים בחוג האופרטורים הדיפרנציאליים על היריעה. אם היריעה אינה אפינית אז ייתכן שחוג האפרטורים הדיפרנציאליים יהיה קטן מידי (כמו שחוג הפונקציות הגולרית[דרושה הבהרה] על יריעה לא אפינית קטן מידי). לכן יש לחקור אלומות מודולים מעל אלומת החוגים של האופרטורים הדיפרנציאליים. גם לאלומות אלו אפשר להגדיר את תכונת הקוהרנטיות והקווזי-קוהרנטיות. אלומות קוהרנטיות (ולעתים גם קווזי-קוהרנטיות) של מודולים מעל אלומת החוגים של האופרטורים הדיפרנציאליים נקראות D-מודולים. ניתן גם להגדיר את קטגוריית ה-D-מודולים ליריעות לא חלקות, אם כי בצורה שונה.

כאמור אפשר לחשוב D-מודול על יריעה כעל מערכת משוואות דיפרנציאליות. אם אז אפשר להגדיר מתי פונקציה אנליטית על היא פתרון של . אוסף הפתרונות של מהווה אלומה קונסטרוקטבילית עלֹ . בניה זאת מגדירה פונקטור מקטגורית ה -מודולים על לקטגורית האלומות על. פונקטור זה משרה שקילות מתת קטגוריה של הקטגוריה הנגזרת של -מודולים לקטגוריה הנגזרת של אלומות קונסטרוקטביליות. שקילות זאת שנקראת שקילות רימן-הילברט הוכחה על ידי מאסאקי קשיברו בהיתבסס על עבודתו של פייר דלין.

אלומות סוטות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – אלומות סוטות

בהתבסס על עבודה של מרק גורצקי ורוברט מקפרסון הצליחו יוסף ברנשטיין, אלכסנדר בילינסון ופייר דלין לתאר את התת-קטגוריה של הקטגוריה הנגזרת של אלומות קונסטרוקטביליות המתאימה ל-מודולים תחת שקילות רימן הילברט. קטגוריה זאת של אלומות נקראת קטגורית האלומות הסוטות. האובייקטים בקטגוריה זאת אינן אלומות אלה קומפלקסים מסוימים של אלומות. ברנשטין, בילינסון ודלין הגדירו גם אנלוגים של קטגוריה זאת עבור אלומות -אדיות ואלומות ויל. לא ניתן לתאר אנלוגים אלו בעזרת -מודולים מיכוון ששקילות רימן הילברט לא תקפה כאשר .

לעתים קרובות, אלומות סוטות מתנהגות טוב יותר תחת ששת הפנקטורים של גרותנדיק (הפעולות הסטנדרטיות עם אלומות: דחיפה, משיכה וכדומה) מאשר אלומות קונסטרוקטביליות (למשל במשפט הפרוק). כמו כן לקטגורית האלומות הסוטת יש תכונות טובות יותר בתור קטגוריה אבלית מאשר לקטגורית האלומות קונסטרוקטביליות. למשל כל אלומה סוטה היא מאורך סופי. יתרון מובהק נוסף של אלומות הסוטות היא בניה הנקראת הרחבה סוטה. בניה זאת מבוססת על העובדה שלכל אלומה סוטה בלתי-פריקה על תת-יריעה קיימת ויחידה אלומה סוטה בלתי-פריקה המרחיבה אותה על . בניה זאת משמשת לבנית אלומות סוטות מעיניניות רבות, למשל אלומות קרקטרים של לוסטיג.

הגדרות אלטרנטיביות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בספרות קיימות מספר דרכים נוספות להגדיר יריעה אלגברית.

אטלסים ומפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להגדיר יריעה אלגברית בצורה דומה לזו המקובלת בטופולוגיה דיפרנציאלית עבור יריעות חלקות. גם בצורה זאת יריעה תהיה מרחב טופולוגי עם מבנה נוסף, רק שמבנה זה יהיה אטלס במקום אלומת פונקציות. כל מפה באטלס תתאים לקבוצה פתוחה אפינית. דרך זאת מעלה מספר קשיים מכיוון שחיתוך של שתי קבוצות אפיניות איננה בהכרח אפיניות, פונקציות המעבר הן בין קבוצות לא אפיניות. לכן יש צורך להגדיר מורפיזמים של קבוצות קווזי אפיניות לפני שמגדירים יריעה כללית. מסיבה זאת ומסיבות היסטוריות דרך הגדרה זאת איננה פופולרית.

כמקרה פרטי של סכמות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מנקודת מבט מודרנית ניתן לראות ביריעות אלגבריות מקרה פרטי של סכמות. נקודת מבט זאת מולידה הגדרה אלטרנטיבית של יריעות אלגבריות: יריעה אלגברית היא סכמה המקיימת תכונות מסוימות (מצומצמת ומטיפוס סופי מעל ). מצב זה עלול ליצור בלבול, מכיוון שההגדרה המקובלת של סכמה גם כן מבוססת על מושג המרחב הטופולוגי: סכמה היא מרחב טופולוגי עם מבנה נוסף. אולם המרחב הטופולוגי המתאים ליריעה שונה מהמרחב הטופולוגי המתאים ל כאשר חושבים עליה כעל סכמה. לדוגמה אם איננה מממד אז המרחב הטופולוגי המתאים אליה כסכמה אינו מקיים את אקסיומת ההפרדה .

בלבול זה גורם בתורו לבלבול בהגדרת מושג הספקטרום. עבור כל -אלגברה קומוטטיבית עם יחידה נוצרת סופית וללא נילפוטנטים קיימת ויחידה (עד כדי איזומורפיזם קנוני) יריעה אלגברית אפינית כך ש: . יריעה זאת נקראת . כאמור המרחב הטופולוגי המתאים ליריעה זאת תלוי בשאלה האם אנו חושבים עליה כעל יריעה או סכמה. לכן כדי למנוע בלבול זה, אם רוצים לחשוב עליה כעל יריעה מסמנים את המרחב הטופולוגי המתאים ב ואם רוצים לחשוב עליה כעל סכמה מסמנים . האות באה מהעוֹבדה שיש התאמה בין הנקודות של לאידאלים מקסימליים ב והאות באה מהעוֹבדה שיש התאמה בין הנקודות של לאידאלים ראשוניים ב . בדרך כלל הסימון מסמן את .

כפונקטורים מיוצגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור יריעה אלגברית מעל , ו -אלגברה קמוטטיבית עם יחידה נוצרת סופית וללא נילפוטנטים , ניתן להגדיר את קבוצת הנקודות של מעל על ידי , כאשר מסמן את קבוצת המורפיזמיום בין שתי יריעות. כאשר יריעה אפינית אז היא קבוצת הפתרונות של מערכת המשוואות המגדירה את כאשר המשתנים רצים ב במקום ב . הפנקטור נקרא פנקטור הנקודות של . ניתן לשחזר את היריעה מפנקטור הנקודות שלה. טענה זאת היא מעין גרסה חזקה של הלמה של יונדה. לכן נתן להגדיר יריעה אלגברית בתור פנקטור מקטגורית ה-אלגבראות קמוטטיביות עם יחידה הנוצרות סופית וללא נילפוטנטים לקבוצות המקיימים תנאים מסוימים.

גישה זאת אבסטרקטית למדי ולכן אינה פופולרית עבור יריעות אלגבריות. אם זאת היא משמשת לעתים כדי להגדיר סכמות, והיא הגישה המקובלת כדי להגדיר הכללות של מושג הסכמה כמו מרחב אלגברי וסטקים אלגבריים.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור שדות לא סגורים אלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להגדיר יריעה אלגברית מעל שדה גם כאשר אינו סגור אלגברית.

עבור שדות מושלמים[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן כללי, כאשר שדה מושלם אחת הדרכים לחשוב על אובייקטים מעל היא בתור אובייקטים מעלֹ הסגור האלגברי ביחד עם פעולה של חבורת גלואה שאינה שומרת בדיוק על המנה של האובייקט מעל אך משנה אותו בצורה המושרת מהפעולה של על .

באופן מפורש כאשר שדה מושלם ניתן להגדיר יריעה אלגברית מעל בתור יריעה מעל יחד עם פעולה של על כך שעבור כל ההעתקה מקיימת:

  1. רציפה על פי טופולוגית זריצקי.
  2. לכל קבוצה פתוחה ולכול פונקציה רגולרית הפונקציה המוגדרת על ידי היא פונקציה רגולרית על .

עבור שדות כללים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר אינו מושלם הגדרה זאת איננה מספקת. לדוגמה אם סגור ספרבילית אז טריוויאלית, אך אין זה הגיוני להגדיר יריעה אלגברית מעל כמושג המתלכד עם יריעה אלגברית מעל . יש מספר דרכים להגדיר יריעה אלגברית גם במקרה זה. אולם בדרך כלל נהוג לטפל במקרה זה כמקרה פרטי של סכמות.

סכמות[עריכת קוד מקור | עריכה]

למרות שמושג היריעה האלגברית כללי למדי, יש למושג זה מספר מיגבלות:

  1. נידרש ליקבועה את השדה לא ניתן לטפל בו זמנית ביריעות מעל שדות שונים. מגבלה זאת מקשה על שימושים בתורת המספרים כאשר רוצים לקשר בין פיתרונות של מארכת משבעות מעל שדה סופי ובין הגאומטריה של היריעה המוגדרת על ידי מערכת זאת מעל . כמו כן הגדלת השדה מאפשרת הוספה של מספרים טרנסינדנטיים מה שמאפשר יצירה של נקודות גנרייות, ז"א נקודות שימצעו בכל קבוצה פתוחה זריצקי המוגדרת מעל השדה המקורי.
  2. יריעות לא מאפשרות טיפול בפיתרונות של מערכות משבעות מעל חוגים שאינם שדות. גם מגבלה זאת מקשה על שימושים בתורת המספרים שאחת הבעיות המרכזיות בה היא ניתוח של משבעות דיופנטיות.
  3. יריעות לא מאפשרות טיפול בשורשים מרובים. לדוגמה היריעה המוגדרת על ידי המשבעה זהה ליריעה המוגדרת על ידי המשבעה . אולם כאשר מנתחים שורשים של פולינום נהוג לכחת בחשבון את ריבוי השורשים ולכן להיתיחס לקבוצת השורשים של באופן שונה מאשר לקבוצת השורשים של . היתיחסות לריבוי השורשים משפרת את הנסוח והשימושיות של מספר משפטים. למשל את המשפט היסודי של האלגברה.

הכללות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב אפיני ומרחב פרויקטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – מרחב אפיני, מרחב פרויקטיבי

עקומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – עקום אלגברי

משטחים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משטח אלגברי

חבורות אלגבריות ויריעות קשורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – חבורה אלגברית

יריעות טוריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – יריעה טורית

מרחבי השתנות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Kempf. "chapter 1". Algebraic Varieties.