יריעה אלגברית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-colors-emblem-development.svg ערך זה נמצא בתהליך עבודה מתמשך. הערך פתוח לעריכה.
אתם מוזמנים לבצע עריכה לשונית, ויקיזציה וסגנון לפסקאות שנכתבו, וכמו כן לעזור להרחיב ולהשלים את הערך.
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

יריעות אלגבריות (ובאופן כללי יותר סכמות) הן אובייקט המחקר המרכזי בגאומטריה אלגברית. באופן אינטואיטיבי, יריעה אלגברית היא אובייקט גאומטרי שנראה מקומית כמו יריעה אלגברית אפינית, (זאת אומרת קבוצת אפסים של מערכת משוואות פולינומית). בדומה למרחב וקטורי, יריעות אלגבריות מוגדרות תמיד מעל שדה k. בדרך כלל k סגור אלגברית.

תוכן עניינים

רקע[עריכת קוד מקור | עריכה]

יריעות אפיניות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – יריעה אלגברית אפינית

בגישה הקלאסית, יריעה אלגברית אפינית הוגדרה כקבוצת כל האפסים של משפחת פולינומים מעל שדה סגור אלגברית k. כלומר: אם f_1,...,f_m הם קבוצת פולינומים ב-n משתנים (כלומר: f_i(X_1,...,X_n) אזי היריעה האפינית המוגדרת על ידם היא

\mathcal{V}(f_1,...,f_n) = \left\{ (x_1,...,x_n) \in k^n \mid \forall i : f_i(x_1,...,x_n) = 0 \right\}.

באופן יותר מדויק, מסתכלים על המרחב האפיני \mathbf{A}^n := k^n כמרחב ה-n-יות של מספרים משדה k כאשר שוכחים את המבנה הטבעי של מרחב וקטורי שיש ל-k^n. על מרחב זה מגדירים k-אלגברה של פונקציות רגולריות מ-\mathbb{A}^n ל-k. במקרה האפיני פונקציות רגולריות אלה הן פולינומים ב-n משתנים. כלומר: k[\mathbb{A}^n] = k[X_1,...,X_n]. נשים לב ש-k-אלגברה זו היא חוג נתרי לפי משפט הבסיס של הילברט, דבר המבטיח שהיא מקיימת מספר תכונות שימושיות, למשל: כל אידאל בה הוא נוצר-סופית. על המרחב \mathbb{A}^n מגדירים טופולוגיית זריצקי ההופכת אותו למרחב נתרי. בטופולוגיה זו כל הקבוצות הסגורות הם בדיוק הקבוצות מהצורה S = \mathcal{V}(I) באשר I הוא אידאל ב-k[\mathbb{A}^n]. מאחר ש-k[\mathbb{A}^n] היא אלגברה נתרית I נוצר סופית ולכן יש מספר סופי של פולינומים f_1,...,f_m היוצרים את I. כמו כן מתקיים \mathcal{V}(I) = \mathcal{V}(f_1,...,f_m), ולכן כל הקבוצות הסגורות הן בעצם קבוצות האפסים המשותפים של משפחות סופיות של פולינומים. לקבוצות כאלה קוראים "קבוצות אלגבריות".

תהי S = \mathcal{V}(I) קבוצה אלגברית. אזי חוג הפונקציות הרגולריות עליה ניתן על ידי k[S] = k[\mathbb{A}^n]/I. אם I אידאל ראשוני אז S היא יריעה אפינית אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי. יריעה אי-פריקה היא יריעה שאי-אפשר להציגה כאיחוד של שתי תת-קבוצות סגורות החלקיות ממש ליריעה.

נשים לב שעבור יריעות אפיניות X החוג של הפונקציות הרגולריות

k[X] = \left\{ f : X \to k \mid \ f \mbox{ is regular on } X \right\}

הוא k-אלגברה נוצרת-סופית ללא איברים נילפוטנטיים. משפט האפסים של הילברט נותן אפיון לקשר בין תת-יריעות סגורות של X לאידאלים של k[X].

יריעות פרויקטיביות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – יריעה אלגברית פרויקטיבית

יריעות קווזי-אפיניות וקווזי-פרויקטיביות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – יריעה קווזי-אפינית, יריעה קווזי-פרויקטיבית

מגבלות של יריעות קווזי פרויקטיביות[עריכת קוד מקור | עריכה]

למרות המגוון הרחב של יריעות קווזי פרויקטיביות יש להן מגבלות רבות. ראשית, הצורך לקבוע שיכון למרחב פרויקטיבי על מנת לדבר על היריעה איננו טבעי. ברמה היותר פרקטית, מסובך לבצע בנייות גאומטריות בסיסיות עם יריעות קווזי פרויקטיביות, ולעתים אף בלתי אפשרי. לדוגמה לא ברור איך להגדיר מבנה של יריעה (קווזי) פרויקטיבית על מכפלה קרטזית של יריעות (קווזי) פרויקטיביות. הדבר ניתן לביצוע על ידי שיכון של מכפלה של מרחבים פרויקטיבים למרחב פרויקטיבי, הנקרא שיכון סגרה, אך פתרון זה איננו טריוויאלי, ומעלה משמעותית את ממד המרחב הפרויקטיבי אליו משוכנת היריעה. דוגמה נוספת היא פעולת ההדבקה. בהינתן שני מרחבים טופולוגיים X ו- Y ושיכונים פתוחים i_1:U \to X ו i_2:U \to Y ניתן להגדיר את ההדבקה X \sqcup_U Y לאורך U בתור האיחוד הלא קשיר X \sqcup Y מודולו יחס השקילות i_1(x)\sim i_2(x). פעולה זאת אינה ניתנת לביצוע ליריעות קווזי פרויקטיביות. הצורך בביצוע פעולה זאת מהווה את המוטיבציה המרכזית להגדרה המודרנית של יריעה אלגברית.

הגדרה פורמלית באמצעות אלומת פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן אינטואיטיבי, ניתן להגדיר יריעה אלגברית כללית בתור "תוצר ההדבקה של מספר יריעות אפיניות". ברמה הפורמלית יש להגדיר מחלקה רחבה יותר של אובייקטים גאומטריים שיריעות אלגבריות מהוות חלק ממנה, ולהגדיר את ההדבקה במחלקה זאת. ישנן מספר מחלקות כאלה. אחת הפופולרית בהן היא "אוסף המרחבים הטופולוגיים עם אלומות פונקציות".

מרחב עם אלומת פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי X מרחב טופולוגי. אלומת פונקציות \mathcal O (עם ערכים ב k) על X היא התאמה אשר מתאימה עבור כל קבוצה פתוחה U \subset X, תת-אלגברה \mathcal O(U) (עם יחידה) של אלגברת הפונקציות מ U ל k, כך שמתקיים:

אם U \subset X קבוצה פתוחה אז ניתן להגדיר את הצמצום \mathcal O|_U של \mathcal O ל- X על ידי \mathcal O|_U(V):=\mathcal O(V), לכול קבצה פתוחה V \subset U.

זוג (X,\mathcal  O) המורכב ממרחב טופולוגי X ואלומת פונקציות \mathcal O עליו נקרא מרחב עם אלומת פונקציות. אם (X,\mathcal  O) הוא מרחב עם אלומת פונקציות אז O נקראת אלומת המבנה של X. יהיו (X_1,\mathcal O_1) ו (X_2,\mathcal O_2) מרחבים עם אלומות פונקציות. העתקה \phi: X\to Y נקראת מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות אם \phi רציפה ולכל U\subset Y ו-f \in \mathcal O(U) מתקיים :f \circ \phi \in \mathcal{O}(\phi^{-1}(U)) .

אוסף המרחבים עם אלומות פונקציות הוא קטגוריה, בפרט שני מרחבים עם אלומות פונקציות (X_1,\mathcal O_1) ו-(X_2,\mathcal O_2) נקראים איזומורפיים אם קיימות העתקות \phi:X\to Y ו \psi: Y\to X של מרחבים עם אלומות פונקציות כך ש:  \phi\circ  \psi=\mathrm{Id}_Y ו  \psi\circ \phi=\mathrm{Id}_X.

מרחבים עם אלומות פונקציות הם מקרים פרטיים של מרחבים מחויגים.

יריעות אפיניות כמרחב עם אלומת פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי X יריעה אפינית. תהי U \subset X קבוצה פתוחה. מכיוון ש-U היא יריעה קווזי-אפינית, ניתן להגדיר את חוג הפונקציות הרגולריות \mathcal O על U. קל לראות שההתאמה U \mapsto \mathcal O (U):=k[U] נותנת אלומת פונקציות. מכאן ש-X מצוידת בטופולוגיה של זריצקי יחד עם אלומת הפונקציות הרגולריות \mathcal O מהווה מרחב עם אלומת פונקציות. קל לראות כי העתקה \phi:X \to Y היא מורפיזם של יריעות, אם"ם היא מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות. במילים אחרות קטגורית היריעות האפיניות היא תת-קטגוריה מלאה בקטגורית המרחבים עם אלומות פונקציות.

לא כל מרחב עם אלומת פונקציות הוא יריעה אפינית. יריעה אפינית Y היא מרחב עם אלומת פונקציות שמקיים את התכונות הבאות:‏[1]

  1. חתך הפונקציות הרגולריות גלובלית על Y שנסמנו k[Y] := \mathcal{O}_Y הוא k-אלגברה נוצרת סופית.
  2. ההעתקה \ast : \mathrm{Mor}(X,Y) \to \mathrm{Hom}_k(k[Y],k[X]) מקבוצת המורפיזמים של מרחבים עם אלומת פונקציות לקבוצת ההומומורפיזמים של k-אלגבראות ששולחת את f : X \to Y ל-f^* : k[Y] \to k[X] כאשר f^*(g) = g \circ f, היא חח"ע ועל (bijection) לכל מרחב עם אלומת פונקציות X.

הגדרה של יריעה אלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב עם אלומת פונקציות (X,\mathcal O) נקרא יריעה אלגברית אם קיים כיסוי פתוח סופי

X=\bigcup_{i=1}^n U_i

כך ש: (U_1,\mathcal O|_{U_1}) איזומורפי (כמרחב עם אלומת פונקציות) ליריעה אלגברית אפינית. מורפיזם של יריעות מוגדר ליהיות מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות.

פעולות עם יריעות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בניות קטגוריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוסף היריעות האלגבריות הוא קטגוריה. בקטגוריה זאת קיימים גבולות הפוכים סופיים, וגבולות ישרים מסוימים. בפרט ניתן להגדיר את הבניות הבאות:

  • אובייקט תחילי - על הקבוצה הריקה יש מבנה יחיד של יריעה אלגברית
  • אובייקט סופי - על קבוצת היחידון (ולמעשה על כל קבוצה סופית) יש מבנה יחיד של יריעה אלגברית
  • קו-מכפלה - עבור 2 יריעות אלגבריות X ו-Y ניתן להגדיר מבנה טבעי של יריעה אלגברית על האיחוד הלא קשיר X \sqcup Y של X ו-Y באופן הבא:
f\in \mathcal O(U) \iff f|_{U \cap X} \in  \mathcal O (U \cap X) \text{ and } f|_{U \cap Y} \in  \mathcal O (U \cap Y)
  • pushout - באופן דומה אפשר להגדיר מבנה של יריעה על הדבקה של שתי יריעות לאורך תת-קבוצה סגורה.
  • מכפלה - על המכפלה הקרטזית של שתי יריעות X ו-Y ניתן להגדיר מבנה של יריעה. עם זאת, טופולוגיית זריצקי על היריעה X \times Y איננה טופולוגיית המכפלה של היריעה X \times Y. אם X ו Y אפיניות אז ניתן להגדיר את מבנה היריעה (האפינית) על X \times Y בקלות, למשל בהתבסס על השיכון למרחב אפיני. במקרה הכללי ניתן לכסות את X ו Y על ידי יריעות אפיניות, ומכאן להגדיר את מבנה הירעה על X \times Y.
  • מכפלת סיבים - יהיו \phi:X\to S, \psi:Y\to S העתקות של יריעות אלגבריות. מכפלת הסיבים X\times_S Y :=\{(x,y)\in X\times Y|\phi(x)=\psi(y)\} היא תת-קבוצה סגורה (זריצקי) במכפלה X \times Y מכאן ניתן להגדיר עליה מבנה של יריעה.
  • גבול הפוך - עבור כל דיאגרמה סופית \mathcal D של יריעות אלגבריות ניתן לבטא את הגבול ההפוך על פי \mathcal D באמצעות מכפלות סיבים ולכן הגבול קיים בקטגוריה של יריעות אלגבריות.

בניות אינפינטסימליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בנוסף ניתן להגדיר בניות רבות המוגדרות עבור יריעות חלקות בטופולוגיה דיפרנציאלית וגאומטריה דיפרנציאלית עבור יריעות אלגבריות. לדוגמה עבור יריעה אלגבריות X ונקודה x\in X ניתן להגדיר את המרחב המשיק T_xX ל-X ב-x. מושג המרחב המשיק הוא מקומי. לכן די להגדירו עבור יריעה אפינית. במקרה זה T_xX הוא המרחב הדואלי ל-\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2, כאשר \mathfrak m_x הוא אידאל הפונקציות שמתאפסות ב-x.

תכונות של יריעות והעתקות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונות טופולוגיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

טופולוגית זריצקי על ירעה אלגברית איננה משקפת את המבנה הגאומטרי של היריעה. למשל, היא כמעט לעולם אינה האוסדורפית ותמיד (קווזי-) קומפקטית. לכן רוב המושגים מטופולוגיה (ובפרט מטופולוגיה אלגברית) לא יהיו רלוונטיים עבור יריעות אלגבריות, ובדרך כלל יהיה צורך להגדיר אנלוגים שלהם באמצעות שאר המבנה על יריעה אלגברית. עם זאת יש מספר מושגים בסיסיים שניתן להגדיר על ידי הטופולוגיה בלבד.

  • יריעה נקראת אי-פריקה (irreducible) אם היא אי-פריקה כמרחב טופולוגי, זאת-אומרת שלא ניתן להציגה כאיחוד של שתי קבוצות סגורות שאינן היריעה כולה.
  • יריעה נקראת קשירה אם היא קשירה כמרחב טופולוגי. לעתים, כאשר היריעה מוגדרת מעל \mathbb{C} משתמשים במונח קשירה ביחס לטופולוגיה המטרית ואילו במונח "אי-פריקה" ביחס לטופולוגיית זריצקי.
  • הממד של יריעה הוא ממד קרול שלה כמרחב טופולוגי, זאת-אומרת האורך המקסימלי של שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות אי-פריקות שאינן היריעה כולה.

תכונות גלובליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התכונות הגלובליות הבסיסיות שיכולות להיות ליריעה אלגברית הן פרידות ושלמות.

הערה: אם נחזור על הגדרות אלה עבור מרחבים טופולוגיים, נקבל הגדרות שקולות להאוסדורפיות וקומפקטיות. אולם מושגים אלה אינם שקולים להאוסדורפיות וקומפקטיות (לפי טופולגית זריצקי) מכיוון שטופולגיית המכפלה על X \times Y שונה מהטופולגיה על X \times Y.

בנוסף יש עוד תכונות גלובליות רבות הנחקרות בגאמטריה אלגברית, למשל תכונות המבוססות על מושג השקילות הבירציונלית (כמו רציונליות) ותכונות המבוססות על אלומות קוהרנטיות (כמו Fano ו Calabi-Yau)

תכונות מקומיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התכונה המקומית הבסיסית של יריעות אלגבריות היא חלקות. יריעה אלגברית X נקראת חלקה בנקודה x \in X אם ממד המרחב המשיק T_xX ל X בנקודה x שווה לממד היריעה X בנקודה x. יריעות חלקות דומות מאוד למרחב אפיני באופן מקומי, למרות שאין איזומורפיזם בין סביבת זריצקי של נקודה חלקה לקבוצה פתוחה במרחב אפיני. לכן כאשר חוקרים את המבנה המקומי של יריעה מתעניינים בדרך כלל ביריעות סינגולריות (זאת-אומרת לא חלקות) ומחקר זה נקרא תורת הסינגולריות. בין התכונות השונות של סינגולריות אפשר למנות: נורמליות, כהן-מקולי, גורנשטין, חיתוך מלא, מחלק עם חיתוך נורמלי, סינגולריות רציונלית, סינגולריות (לוג) קנונית, סינגולריות (לוג) טרמינאלית, סינגולריות סמפלקטית ועוד.

העתקות ומשפחות של יריעות[עריכת קוד מקור | עריכה]


אחת הדרכים לחשוב על העתקה \phi:X\to Y היא בתור משפחה של יריעות, כאשר הפרמטר של המשפחה היא נקודה שנעה ב X, ולכל נקודה x \in X אנו מתאימים את היריעה \phi^{-1}(x). לפי הגישה היחסית של גרותנדיק אפשר לנסות להכליל כל מושג שהוגדר עבור יריעות, גם עבור משפחה של ירעות או במילים אחרות - העתקות. בצורה זאת ניתן להגדיר את המושגים הבאים:

תכונות אלו הן בעצם תכונות של משפחות של יריעות יותר משהן תכונות של יריעות, ובפרט הן מקומיות על פי הטווח. יש תכונות מקומיות על פי הטווח נוספות שאין להן גרסה מובהקת עבור יריעה, למשל, העתקה סופית, העתקה קוזי סופית, העתקת אטל והעתקה שטוחה (על שלושת הדוגמאות הראשונות אפשר לחשוב כעל גרסאות יחסיות שונות של יריעות סופיות).

טרמינולוגיות שונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נקודות של יריעה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קשר עם יריעות אנליטיות וחלקות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – יריעה אנליטית, יריעה חלקה

אלומות קהרנטיות וקווזי קהרנטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – אלומה קוהרנטית, אלומה קווזי קוהרנטית

הגדרות אלטרנטיביות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אטלסים ומפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כמקרה פרטי של סכמות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כפונקטורים מיוצגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

שדות לא סגורים אלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

סכמות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הכללות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב אפיני ומרחב פרויקטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – מרחב אפיני, מרחב פרויקטיבי

עקומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – עקום אלגברי

משטחים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משטח אלגברי

חבורות אלגבריות ויריעות קשורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – חבורה אלגברית

יריעות טוריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – יריעה טורית

מרחבי השתנות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערה על מינוחים[עריכת קוד מקור | עריכה]

באנגלית יריעה אלגברית נקראת "algebraic variety". בעברית וגם ברוסית, המילה "יריעה" משמשת גם לתיאור יריעה טופולוגית ובפרט יריעה חלקה, שבאנגלית נקראת "manifold". במקרים רבים יריעה אלגברית היא גם יריעה חלקה, אך יש לזכור שמדובר בשתי קטגוריות שונות זו מזו.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Kempf, Algebraic Varieties, {{{מו"ל}}}, פרק 1.