מטריצות גאמה של דיראק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מטריצות גאמה של דיראק הן אוסף של 4 מטריצות (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק

כאשר ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצגת דיראק[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:

כאשר הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

הצגת וייל[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:

כאשר הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:

 :

הצגת מיורנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

זהויות בסיסיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מטריצות גאמה מקיימות את אלגברת דיראק:
כאשר סוגריים מסולסלות מסמנות אנטי-קומוטטור ו- היא מטריקת מינקובסקי .
בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל מתקיים
  • מכאן נובע ש:
    • כאשר k=1,2,3.
  • ביחס ללקיחת צמוד הרמיטי:
    • כאשר k=1,2,3.
  • מטריצת הכיראליות מקיימת:
    • , כלומר:
  • מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.

זהויות סכימה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Num Identity
1
2
3
4

זהויות עקבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Num Identity
1 העקבה של כל מכפלה אי-זוגית של מטריצות היא אפס.
2
3
4
5

כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:

  • לינאריות:
  • ציקליות:

יוצרים של חבורת לורנץ[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי

ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי

והסיבובים נתונים על ידי

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Peskin & Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory, עמודים 40-41 ועמוד 50