מטריצת היחידה

באלגברה ליניארית, מטריצת היחידה מסדר $\ n$ היא מטריצה ריבועית מסדר $n$, כלומר בגודל $n^{2}$, שהאלכסון הראשי שלה מורכב מאחדות וכל שאר המטריצה מאפסים. היא מסומנת על ידי $\ I_{n}$ או על ידי $\ I$ כאשר גודלה אינו חשוב או טריוויאלי. מטריצת היחידה משמשת כאיבר נייטרלי ביחס לכפל מטריצות, וכטרנספורמציה ליניארית היא מייצגת את העתקת הזהות (כלומר: $\ v=Iv$ לכל $\ v$), כלומר כמו שבאלגברה רגילה ניתן להכפיל כל אבר שרוצים בספרה 1 כך ניתן להכפיל כל מטריצה שרוצים במטריצת היחידה מבלי לשנות את השוויון.

דוגמאות למטריצת היחידה בסדרים שונים:

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

מאחר שמטריצת היחידה היא מקרה פרטי של מטריצה אלכסונית, אפשר לכתוב אותה גם כ-:

$$I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1)$$

בחישובים לפי קואורדינטות וחשבון טנזורים שימושי להציג את מטריצת היחידה באמצעות הדלתא של קרונקר:

$$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}i=j\\0&{\mbox{if }}i\neq j\end{cases}}$$

תהי $A\in M_{m\times n}(F)$ מטריצה מעל שדה F, אזי:

$$I_{m}A=AI_{n}=A$$

כלומר: מטריצת היחידה היא איבר נייטרלי ביחס לכפל מטריצות.

מטריצת היחידה (מסדר n) היא מטריצה אוניטרית ומטריצה הרמיטית ובפרט מטריצה סימטרית ומטריצה אורתוגונלית, עמודותיה וכן שורותיה מהווים בסיס אורתונורמלי למרחב הווקטורי $F^{n}$. הדטרמיננטה של מטריצת היחידה שווה ל-1. מטריצת היחידה היא מטריצה אלכסונית שכל ערכיה העצמיים שווים ל-1. זו מטריצה הפיכה ודרגתה שווה ל-n.

מטריצה מסוג זה מנוצלת בכמה תחומים של אנליזה נומרית לרבות פירוק אינטרפולטיבי.

ראו גם

• הדלתא של קרונקר

קישורים חיצוניים

• מטריצת היחידה, באתר MathWorld (באנגלית)