משוואת רציפות

משוואת רציפוּ‏ת (או משוואת רצף) היא משוואה דיפרנציאלית המתארת מעבר משמר של גודל מסוים. מאחר שמסה, אנרגיה, תנע, מטען חשמלי וכן גדלים טבעיים נוספים נשמרים, מגוון תהליכים ניתנים לתיאור באמצעות משוואות רציפות.

כללי

צורתה הכללית של משוואת רציפות היא:

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {f}}=s$

כאשר $\scriptstyle \varphi$ מייצגת גודל מסוים, f היא פונקציה המתארת את השטף של $\scriptstyle \varphi$, ו-s מתארת את היווצרות (או היעלמות) $\scriptstyle \varphi$. משוואה זו ניתן לקבל מהסתכלות על השטף דרך קופסה אינפיניטסימלית. ניתן להשתמש במשוואה כללית זו על מנת לקבל כל משוואת רצף, החל ממשוואות פשוטות כמו משוואת רצף הנפח וכלה במשוואות מסובכות כדוגמת משוואות נאוויה-סטוקס.

משוואת הרצף במכניקת הזורמים

במכניקת הזורמים, משוואת הרצף קובעת כי, בתהליך יציב, קצב הכניסה של המסה למערכת שווה לקצב היציאה של המסה מן המערכת. המשוואה בהצגה דיפרנציאלית נראת כך:

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

כאשר:

• $\ \rho$ - צפיפות הזורם
• $\ \mathbf {u}$ - וקטור מהירות הזורם
• $\ t$ - הזמן
• $\nabla$ - נבלה, האופרטור הדיפרנציאלי של המרחב.

במערכות בהן הצפיפות קבועה (נוזל שאינו דחיס), מהירות הזרם נשארת קבועה לאורך כל הזורם:

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

עובדה זו נכונה, מכיוון שכאשר הצפיפות והנפח קבועים, המהירות אינה יכולה להיות שונה בחלקים שונים של הזרימה, אחרת אחד מהשניים יהיו חייבים להשתנות עם הזמן.

דוגמאות נוספות

משוואת הרציפות של המטען והזרמים החשמליים: $\ \partial _{\mu }j^{\mu }={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0$.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה ובנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.