קוטב (אנליזה מרוכבת) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־15:15, 16 ביוני 2006

באנליזה מרוכבת, קוטב של פונקציה מרוכבת הוא סוג מסויים של נקודת סינגולריות של הפונקציה (הסוגים האחרים הם סינגולריות סליקה וסינגולריות עיקרית). אם הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר היא מקבלת ערכים המתקרבים לנקודה, אז נקודה זו היא קוטב.

הגדרה פורמלית

נקודה $\ z_{0}$ היא קוטב של פונקציה מרוכבת $\ f(z)$ , אם הפונקציה אנליטית בסביבה מנוקבת של הנקודה, ומתקיים $\ \lim _{z\to z_{0}}f(z)=\infty$ .

המספר n הקטן ביותר שעבורו הגבול $\ \lim _{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})^{n}f(z)$ קיים (וסופי), נקרא הסדר של הקוטב. מספר זה תמיד קיים. קוטב מסדר 1 נקרא קוטב פשוט. עבור קוטב פשוט, השארית של הקוטב מוגדרת להיות הגבול $\ Res_{z_{0}}f=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z)$ .

תכונות של קטבים

הפונקציה ניתנת לפיתוח לטור לורן סביב קוטב מסדר סופי, כאשר הפיתוח מתחיל מהחזקה השלילית $\ (z-z_{0})^{-n}$ . כלומר, $\ f(z)=\sum _{k=-n}^{\infty }c_{k}\cdot (z-z_{0})^{k}$ . באופן שקול, יש $\ n$ כך שהפונקציה $\ (z-z_{0})^{n}f(z)$ היא אנליטית.

הגבול $\ \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)\cdot (z-z_{0})^{k}=L$ , עבור $\ k\in \mathbb {Z}$ מקבל את הערכים הבאים:

$\ L=\infty$ אם $\ k<n$ .
$\ L=c_{-n}$ אם $\ k=n$ .
$\ L=0$ אם $\ k>n$ .

דוגמאות

לפונקציה $\ f(z)={\frac {1}{z^{n}}}$ קיים קוטב מסדר $\ n$ בנקודה $\ z=0$ .
לפונקציה $\ f(z)={\frac {1}{1-\cos z}}$ קיים קוטב מסדר $\ 2$ בנקודה $\ z=0$ . כדי להיווכח בזה די לזכור שהפיתוח לטור טיילור של $\ \cos z$ הוא: $\ \cos z=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\dots$ , ולכן $\ f(z)={\frac {1}{1-\cos z}}={\frac {1}{1-(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\dots )}}={\frac {1}{z^{2}({\frac {1}{2!}}-{\frac {z^{2}}{4!}}+\dots )}}$ .
לפונקציה $\ f(z)=e^{1/z}$ אין קוטב בנקודה $\ z=0$ אלא סינגולריות עיקרית.

כשמרכיבים את ההגדרה של פונקציה מרוכבת אל הקומפקטיפיקציה של המישור המרוכב (כלומר, אל ה'נקודה' שבאינסוף), הנקודה $\ z=\infty$ נחשבת לקוטב של $\ f(z)$ מאותו סוג וסדר של הקוטב $\ z=0$ בפונקציה $\ f(1/z)$ .

מונחים קשורים

פונקציה מרוכבת שכל הסינגולריויות שלה הן קטבים נקראת פונקציה מרומורפית

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-ב[[אנליזה מרוכבת]], '''קוטב''' של [[פונקציה מרוכבת]] הוא נקודת [[סינגולריות (מתמטיקה)|סינגולריות]] של הפונקציה, כלומר נקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת היטב. אם הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר היא מקבלת ערכים המתקרבים לנקודה, אז נקודה זו היא קוטב.
+ב[[אנליזה מרוכבת]], '''קוטב''' של [[פונקציה מרוכבת]] הוא סוג מסויים של נקודת [[סינגולריות (מתמטיקה)|סינגולריות]] של הפונקציה (הסוגים האחרים הם סינגולריות סליקה וסינגולריות עיקרית). אם הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר היא מקבלת ערכים המתקרבים לנקודה, אז נקודה זו היא קוטב.
 ==הגדרה פורמלית==
-נקודה <math>\ z_0</math> היא '''קוטב''' של פונקציה מרוכבת <math>\ f(z)</math>, אם
+נקודה <math>\ z_0</math> היא '''קוטב''' של פונקציה מרוכבת <math>\ f(z)</math>, אם הפונקציה [[פונקציה אנליטית|אנליטית]] ב[[סביבה (טופולוגיה)|סביבה מנוקבת]] של הנקודה, ומתקיים <math> \ \lim _{z\to z_0}f(z)=\infty </math>.
-# הפונקציה [[פונקציה אנליטית|אנליטית]] ב[[סביבה (טופולוגיה)|סביבה מנוקבת]] של הנקודה, אבל לא מוגדרת או אינה אנליטית בנקודה עצמה (זהו '''קוטב מבודד'''); '''או'''
-# <math>\ z_0</math> היא [[נקודת הצטברות]] של קטבים, כלומר ישנה סדרת קטבים <math>\ z_n</math> המתכנסת ל- <math>\ z_0</math>.
-במקרה הראשון: אם הגבול  <math>\ \lim_{z \rightarrow z_0}f(z)</math> קיים, זהו קוטב '''ניתן להסרה''' או 'קוטב מסדר 0'. המספר n הקטן ביותר שעבורו הגבול <math>\ \lim_{z \rightarrow z_0}(z-z_0)^nf(z)</math> קיים (וסופי), נקרא ה'''סדר''' של הקוטב - ובלבד שמספר כזה קיים. אם לא קיים כזה n, הקוטב נקרא '''קוטב עיקרי'''.
+המספר n הקטן ביותר שעבורו הגבול <math>\ \lim_{z \rightarrow z_0}(z-z_0)^nf(z)</math> קיים (וסופי), נקרא ה'''סדר''' של הקוטב. מספר זה תמיד קיים. קוטב מסדר 1 נקרא '''קוטב פשוט'''. עבור קוטב פשוט, השארית של הקוטב מוגדרת להיות הגבול <math> \ Res_{z_0}f=\lim _{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>.
-במקרה השני הקוטב תמיד נקרא 'קוטב עיקרי'.
-קוטב מסדר 1 נקרא '''קוטב פשוט'''.
 ==תכונות של קטבים==
-הפונקציה ניתנת לפיתוח ל[[טור לורן]] סביב קוטב מסדר סופי, כאשר הפיתוח מתחיל מהחזקה השלילית <math>\ (z-z_0)^{-n}</math>. כלומר, <math>\ f(z)=\sum_{k=-n}^{\infty}c_k\cdot(z-z_0)^k</math>.
+הפונקציה ניתנת לפיתוח ל[[טור לורן]] סביב קוטב מסדר סופי, כאשר הפיתוח מתחיל מהחזקה השלילית <math>\ (z-z_0)^{-n}</math>. כלומר, <math>\ f(z)=\sum_{k=-n}^{\infty}c_k\cdot(z-z_0)^k</math>. באופן שקול, יש <math> \ n </math> כך שהפונקציה <math> \ (z-z_0)^nf(z) </math> היא אנליטית.
 הגבול <math>\ \lim_{z\rarr z_0}f(z)\cdot(z-z_0)^k=L</math>, עבור <math>\ k\isin\mathbb{Z}</math> מקבל את הערכים הבאים:
@@ שורה 25: / שורה 19: @@
 # לפונקציה <math>\ f(z)=\frac{1}{z^n}</math> קיים קוטב מסדר <math>\ n</math> בנקודה <math>\ z=0</math>.
 #לפונקציה <math>\ f(z)=\frac{1}{1-\cos z}</math> קיים קוטב מסדר <math>\ 2</math> בנקודה <math>\ z=0</math>. כדי להיווכח בזה די לזכור שהפיתוח לטור טיילור של <math>\ \cos z</math> הוא: <math>\ \cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots</math>, ולכן <math>\ f(z)=\frac{1}{1-\cos z}=\frac{1}{1-(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots)}= \frac{1}{z^2(\frac{1}{2!}-\frac{z^2}{4!}+\dots)}</math>.
-# לפונקציה <math>\ f(z)=e^{1/z}</math> יש קוטב עיקרי בנקודה <math>\ z=0</math>.
+# לפונקציה <math>\ f(z)=e^{1/z}</math> אין קוטב בנקודה <math>\ z=0</math> אלא סינגולריות עיקרית.
 כשמרכיבים את ההגדרה של פונקציה מרוכבת אל ה[[קומפקטיפיקציה]] של [[המישור המרוכב]] (כלומר, אל ה'נקודה' שבאינסוף), הנקודה <math>\ z=\infty</math> נחשבת לקוטב של  <math>\ f(z)</math> מאותו סוג וסדר של הקוטב  <math>\ z=0</math> בפונקציה  <math>\ f(1/z)</math>.
+==מונחים קשורים==
+פונקציה מרוכבת שכל הסינגולריויות שלה הן קטבים נקראת [[פונקציה מרומורפית]]
 [[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]