המישור המרוכב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
הצגת המספר 3+2i במישור המרוכב

מישור המספרים המרוכבים הוא אמצעי להצגת המספרים המרוכבים בצורה גאומטרית, כשם שציר המספרים משמש להצגת המספרים הממשיים. מישור המספרים המרוכבים נקרא גם "המישור של גאוס" על שם המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס שהשתמש בו לצורך פיתוח חלק מרעיונותיו.

מישור המספרים המרוכבים מורכב למעשה משני צירים חד-ממדיים שביחד יוצרים מישור דו-ממדי. כל נקודה במישור מייצגת מספר מרוכב. קואורדינטת (שיעור) הציר המאוזן של הנקודה מייצג את הערך הממשי וקואורדינטת הציר המאונך מייצג את הערך המדומה של המספר. כך לדוגמה מיוצג המספר המרוכב \ z הנתון על ידי \ z = x + yi (עבור \ x ו-\ y ממשיים) על ידי הנקודה \ (x,y) . הדבר דומה מאוד למערכת צירים רגילה, רק שכאן כל ציר מייצג חלק אחר של המספר המרוכב במקום את קואורדינטות הנקודה. הצגה כזאת לפי קואורדינטות נקראת הצגה קרטזית.

הצגה פולארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בנוסף להצגה הקרטזית ניתן גם להציג מספרים מרוכבים בהצגה פולארית (בעברית נקראת הצגה זאת הצגה קטבית). בהצגה זאת, במקום לתת לכל מספר מרוכב ערך לחלק הממשי וערך לחלק המדומה שלו, ניתנים לו שני ערכים אחרים: המרחק מראשית הצירים (הרדיוס) והזווית בין הכיוון החיובי של הציר הממשי לקטע המחבר את הנקודה עם ראשית הצירים (נקודת האפס). כך לדוגמה המספר המרוכב \ z שמרחקו מראשית הצירים הוא \ r והזווית היא \ \theta יוצג בהצגה פולארית על ידי הנקודה \ (r,\theta) .

הקשר בין שתי ההצגות נתון בנוסחאות הבאות:
r = \sqrt{x^2 + y^2}
\theta = \arctan\frac{y}{x}[1]

\ x = r\cos\theta

\ y = r\sin\theta
כאשר המספר המרוכב \ z נתון על ידי: \ z = x + yi ,\ r הוא הרדיוס של \ z ו-\ \theta היא הזווית שלו בהצגה פולארית.

מנוסחאות אלו קל לראות ש: \ x +iy =r(\cos\theta + i\sin\theta) . נהוג לקצר את הביטוי \ \cos\theta + i\sin\theta ל- \ cis\,\theta .

על פי נוסחת אוילר, ניתן לקבל גם את הקשר הבא: z = r\ e^{i \theta}

השפעת פעולות חשבון על ההצגה של מספרים מרוכבים במישור[עריכת קוד מקור | עריכה]

חיבור[עריכת קוד מקור | עריכה]

חיבור של שני מספרים מרוכבים ייתן מספר מרוכב חדש כך שהקואורדינטות הקרטזיות של המספר החדש יהיו סכום הקואורדינטות של המספרים המקוריים. הדבר דומה לכל חיבור וקטורי רגיל.
\ (x_1 + y_1 i) + (x_2 + y_2i) = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2)i

כפל[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצגה קרטזית[עריכת קוד מקור | עריכה]

כפל של שני מספרים מרוכבים הנתונים בהצגה קרטזית ייתן מספר מרוכב חדש. (x_1+y_1 i)\cdot (x_2+y_2 i) = (x_1\cdot x_2 - y_1\cdot y_2)+(x_1\cdot y_2 + y_1 \cdot x_2)i

הצגה פולארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

כפל של שני מספרים מרוכבים הנתונים בהצגה פולארית ייתן מספר מרוכב חדש כך שרדיוסו של המספר החדש יהיה שווה למכפלת הרדיוסים של המספרים המקוריים והזווית שלו תהיה שווה לסכום הזוויות של המספרים המקוריים.
\ (r_1(cis\,\theta _1)) \cdot (r_2(cis\,\theta _2)) = (r_1r_2)\cdot cis\,(\theta _1 + \theta _2)

חזקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

חזקה של מספר מרוכב ב-n ניתנת לחישוב על פי משפט דה מואבר. מקבלים מספר שהרדיוס שלו הוא בחזקת n, והזווית היא כפול n.
[r(cis\,\theta)]^n = r^n(cis\,n\theta)

שורש[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוצאת שורש מסדר n למספר מרוכב הנתון בהצגה פולארית (נסמנו כ-r(cis\,\theta)), ייתן סדרה של n מספרים מרוכבים שמהווים תשובות אפשריות. המספרים נמצאים על מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו \sqrt[n]{r}, והם מהווים קודקודים של מצולע משוכלל בעל n צלעות. אם נסמן את סדרת התשובות האפשריות כ-\ z_k (כל תשובה מסומנת על ידי k שונה הנע בין 0 ל-\ n-1 (כולל), למשל \ z_0, z_1 וכו'), התשובות מקיימות:

z_k=\sqrt[n]{r} \cdot cis \left( \frac{\theta + 2 \pi k}{n}\right) = \sqrt[n]{r} \cdot \exp \left( i \frac{\theta + 2 \pi k}{n}\right)

כאשר \ \pi ברדיאנים שקול לזווית של \ 180^o).

טופולוגיה של המישור המרוכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ לחישוב מדויק יותר, ראו פה