משפט הפונקציה ההפוכה

במתמטיקה, משפט הפונקציה ההפוכה, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה רציפה היא הפיכה.

ניסוח

תהי $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ קבוצה פתוחה ותהי $f:A\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$ גזירה ברציפות. תהי $a\in A$ עבורה היעקוביאן בנקודה $J_{f}(a)\neq 0$. קיימת קבוצה פתוחה $U\subset A$ המקיימת $a\in U$, כך ש $\ V=f(U)$ היא גם כן פתוחה.

$\ f$ מעתיקה את $\ U$ חד חד ערכית על $\ V$ והפונקציה ההפוכה $f^{-1}:V\longrightarrow U$ גם כן גזירה ברציפות ומטריצת יעקובי של $\ f^{-1}$ מקיימת: $D_{f^{-1}}(f(x))=D_{f}^{-1}(x)$ לכל $x\in U$

מקרה פרטי

זהי הכללה של המקרה הפרטי בו $\ n=1$: תהי $f:A\longrightarrow \mathbb {R}$ גזירה ברציפות. תהי $a\in A$ נקודה המקיימת $f'(a)\neq 0$

מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת $\ \delta >0$ שלכל $\ x\in (a-\delta ,a+\delta )$ ,$\ f'(x)\neq 0$.

נניח כי $\ f'(a)>0$ אז מהיות $\ f'$ רציפה, לכל $\ x\in (a-\delta ,a+\delta )$, $\ f'(x)>0$ שהרי אחרת היה קיים $\ x_{0}\in (a-\delta ,a+\delta )$, $\ f'(x_{0})=0$ ממשפט ערך הביינים.

לכן $\ f$ מונוטונית עולה ממש בכל $\ (a-\delta ,a+\delta )$ גורר ש $\ f$ חד חד ערכית בכל $\ (a-\delta ,a+\delta )$. מכאן ניתן להגדיר $f^{-1}:f((a-\delta ,a+\delta ))\longrightarrow (a-\delta ,a+\delta )$ הגזירה בכל נקודה פנימית ב $\ (a-\delta ,a+\delta )$ על פי הגדרת הנגזרת של פונקציה הפיכה: $\left(f^{-1}\right)'(x)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}}$ כי $f^{-1}(x)\in (a-\delta ,a+\delta )$ ובקטע זה הנגזרת של $\ f$ שונה מ-0.