יעקוביאן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מערכות צירים וקואורדינטות
מערכות צירים נפוצות
ראו גם

באנליזה וקטורית, יעקוביאן הוא הדטרמיננטה של מטריצת יעקובי. הן ליעקוביאן והן למטריצת יעקובי חשיבות רבה כאשר עוסקים בהעתקות וקטוריות ותכונותיהן.

מטריצת יעקובי משמשת לתיאור הדיפרנציאל של העתקה וקטורית. מושג זה מכליל את מושג הנגזרת הקיים עבור פונקציות סקלריות במשתנה יחיד. היעקוביאן משמש לתיאור ההתנהגות של העתקה, ואי התאפסותו הוא תנאי מספיק על מנת שההעתקה תקיים מספר תכונות מקומיות של חד חד ערכיות, הפיכות והעתקה של קבוצות פתוחות לקבוצות פתוחות. כמו כן היעקוביאן נותן מדד לשינוי של גדלים במרחב כאשר משתמשים בהחלפת קוארדינטות.

היעקוביאן ומטריצת יעקובי נקראים על שם המתמטיקאי קרל גוסטב יעקב יעקבי.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ F=(f_1,\ldots,f_m):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m פונקציה כלשהי שכל הנגזרות החלקיות שלה קיימות. אז מטריצת יעקובי שלה היא המטריצה מסדר \ m\times n הבאה:

\begin{bmatrix} \partial f_1 / \partial x_1 & \cdots & \partial f_1 / \partial x_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial f_m / \partial x_1 & \cdots & \partial f_m / \partial x_n \end{bmatrix}

כלומר, בכל שורה מופיעות כל הנגזרות החלקיות של אחת מפונקציות הרכיבים. ניתן לראות זאת גם כך: מטריצת יעקובי היא וקטור עמודה שמכיל את הגרדיאנטים של הרכיבים שלו (כלומר, כל שורה היא גרדיאנט).

היעקוביאן הוא הדטרמיננטה של המטריצה הזו, במקרה שבו \ m=n (זאת מכיוון שדטרמיננטה מוגדרת רק עבור מטריצות ריבועיות). לרוב מסומנת מטריצת יעקובי כך:

J_F(x_1,\ldots,x_n) \qquad \mbox{or}\qquad \frac{\partial(f_1,\ldots,f_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}

מסקנות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור מעבר משני משתנים בלתי תלויים x ו-y ל-u ו-v היעקוביאן הוא

\ \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x}

אם x ו-y שני משתנים בלתי תלויים אזי

\ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y = \frac{\partial (f,y)}{\partial (x,y)}

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחד מהשימושים העיקריים של היעקוביאן הוא מציאת ערך האינטגרל של פונקציה מורכבת. לדוגמה: \ \int_0^3 \int_0^4 \int_{x=y/2}^{x=y/2+1} \left( \frac{2x-y}{2}+\frac{z}{3} \right) \, dx dy dz הוא שווה לנפח הפונקציה באינטגרל בגבולות הנתונים. הפונקציה מסובכת מדי מכדי לבצע אינטגרציה באופן ישיר. לכן נסמן: \ w = \frac{z}{3}, \ v = \frac{y}{2} \ u = \frac{2x-y}{2}

הפונקציה החדשה שלנו היא \ u+w ונחשב את הגבולות שלה על ידי הצבת הגבולות הקודמים בסימונים החדשים:\ z = 3w ,\ y = 2v ,\ x = u+v

לדוגמה במקום הגבול \ x = \frac{y}{2} נציב \ u+v = \frac{2v}{2} = v ומכאן שנחליף את הגבול \ x = \frac{y}{2} בגבול \ u = 0

נחשב את היעקוביאן של הפונקציה:

J(u,v,w) =\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w} \\[3pt]
\dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w} \\[3pt]
\dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w} \\
 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3 \end{vmatrix}\,
= 6

נחשב את הנפח באמצעות היעקוביאן \ \int_0^3 \int_0^4 \int_{x=y/2}^{x=y/2+1} \left( \frac{2x-y}{2}+\frac{z}{3} \right) \, dx dy dz = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^1 (u+w) \cdot |J(u,v,w)| du dv dw = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^1 (6u+6w) du dv dw = 12

לסיכום: כדי למצוא אינטגרל של פונקציה מסובכת, ניתן לחלק אותה למספר פונקציות קטנות. את הפונקציה הישנה יש להביע באמצעות הפונקציות החדשות ולהכפיל את הפונקציה החדשה שהתקבלה בערכו המוחלט של היעקוביאן שלה וכמובן יש לעדכן את הגבולות של הפונקציה החדשה לפי הפונקצות הקטנות שהגדרנו.

פונקציות תלויות ובלתי תלויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם u,v הן פונקציות גזירות ברציפות של המשתנים x,y, הן נקראות פונקציות תלויות או בלתי תלויות בהתאם להאם הן מקיימות או לא מקיימות ביניהן יחס מהסוג f(u,v)=0, כשהפונקציה f הינה פונקציה גזירה ברציפות כלשהי של 2 משתנים.

ע"י גזירת f(u,v)=0 ביחס ל x,y , אנחנו מסיקים ש:

(1)  \qquad {\operatorname{\partial}\!f\over\operatorname{\partial}\!v}{\operatorname{\partial}\!v\over\operatorname{\partial}\!x}+{\operatorname{\partial}\!f\over\operatorname{\partial}\!u}{\operatorname{\partial}\!u\over\operatorname{\partial}\!x}=0,  \qquad {\operatorname{\partial}\!f\over\operatorname{\partial}\!v}{\operatorname{\partial}\!v\over\operatorname{\partial}\!y}+{\operatorname{\partial}\!f\over\operatorname{\partial}\!u}{\operatorname{\partial}\!u\over\operatorname{\partial}\!y}=0 .

אם נסמן \qquad {\operatorname{\partial}\!f\over\operatorname{\partial}\!v}=f_v,{\operatorname{\partial}\!f\over\operatorname{\partial}\!u}=f_u, ואת {\operatorname{\partial}\!v\over\operatorname{\partial}\!x}, {\operatorname{\partial}\!u\over\operatorname{\partial}\!x}, {\operatorname{\partial}\!v\over\operatorname{\partial}\!y}, {\operatorname{\partial}\!u\over\operatorname{\partial}\!y} בתור v_x, u_x, v_y, u_y, מערכת המשוואת (1) תראינה כך:

(2)  \qquad f_v\cdot v_x+f_u\cdot u_x=0,   \qquad f_v\cdot v_y+f_u\cdot u_y=0 .

זוהי מערכת משוואות לינארית ב f_v, f_u . כל אחת מהמשוואות ב (2) מתארת יחס זהותי בין f_v,f_u; לכן הן שקולות זו לזו, ואלימינציה של f_v,f_u מתוך (2) נותנת \begin{vmatrix} v_x & u_x \\ v_y & u_y \end{vmatrix}= v_x \cdot u_y - v_y \cdot u_x = 0 . אפשר לנסח תוצאה זו כך: התאפסות היעקוביאן \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} v_x & u_x \\ v_y & u_y \end{vmatrix} הינה תנאי הכרחי לקיום יחס כמו f(u,v)=0 .

מסתבר שזהו גם תנאי מספיק לקיום יחס כמו f(u,v)=0, אם כי ההוכחה לכך קשה יותר.

תוצאה זו נכונה עבור כל מספר של משתנים. הפונקציות (הגזירות ברציפות) f_1,\ldots,f_m של המשתנים x_1,\ldots,x_n הן תלויות או בלתי תלויות בהתאם להאם הן מקיימות או לא מקיימות יחס מהסוג F(f_1,\ldots,f_m)=0 עם F גזירה ברציפות; ותנאי הכרחי ומספיק לקיום יחס כזה הוא התאפסות היעקוביאן \qquad \frac{\partial(f_1,\ldots,f_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)} = 0 .

באופן אנלוגי, אי התאפסות היעקוביאן \qquad \frac{\partial(f_1,\ldots,f_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}  הינו תנאי הכרחי ומספיק לאי היותן של הפונקציות f_1,\ldots,f_m תלויות. בניסוח אחר, אם \qquad \frac{\partial(f_1,\ldots,f_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)} \neq 0 , הפונקציות f_1,\ldots,f_m לא מקיימות ביניהן שום משוואה מהסוג F(f_1,\ldots,f_m)=0 (עבור פונקציה F גזירה ברציפות של m משתנים כלשהי).