השערת ארטין על שורשים פרימיטיביים

בתורת המספרים, השערת ארטין על שורשים פרימיטיביים גורסת כי כל מספר טבעי נתון a שאינו מספר ריבועי או 1- הוא שורש פרימיטיבי מודולו אינסוף מספרים ראשוניים p. ההשערה מייחסת גם צפיפות אסימפטוטית לראשוניים הללו. להשערה קשר ישיר להתנהגות השברים העשרוניים שמייצגים מספרים רציונליים מהצורה ${\frac {1}{p}}$; כיוון שהמספר 10 אינו ריבוע שלם או 1-, ההשערה קובעת למעשה כי קיימים אינסוף מספרים ראשוניים p שעבורם אורך המחזור של השבר העשרוני שמייצג את $1/p$ הוא בדיוק $p-1$.

את ההשערה שיער לראשונה אמיל ארטין בהתכתבות עם הלמוט הסה בספטמבר 27, 1927, לפי יומנו של האחרון.

ההשערה הוכחה בהנחה של השערת רימן. ב-1986 הראה Heath-Brown, בלי להניח את השערת רימן, שההשערה נכשלת עבור לכל היותר שני ראשוניים, ולכל היותר שלושה מספרים חופשיים מריבועים. עם זאת, ההשערה טרם הוכחה עבור אף ערך נתון של a.

ראו גם

• איבר פרימיטיבי