תת-קבוצה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הרחבה ועריכה קלה |
Rex~hewiki (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[תמונה:Group set.png|שמאל|ממוזער|250px|דוגמה לקבוצה עם תת-קבוצה המוכלת בה]] |
[[תמונה:Group set.png|שמאל|ממוזער|250px|דוגמה לקבוצה עם תת-קבוצה המוכלת בה]] |
||
ב[[תורת הקבוצות]], [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] |
ב[[תורת הקבוצות]], אומרים שה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] הנתונה <math>\ B</math> היא '''תת-קבוצה''' של הקבוצה הנתונה <math>\ A</math>{{הערה|1=או במילים שקולות: הקבוצה <math>\ B</math> היא '''חלקית''' לקבוצה <math>\ A</math>, או: הקבוצה <math>\ B</math> '''מוכלת''' בקבוצה <math>\ A</math>, או: הקבוצה <math>\ A</math> '''מכילה''' את הקבוצה <math>\ B</math>.}} אם כל איבר של הקבוצה <math>\ B</math> שייך גם לקבוצה <math>\ A</math>. (בניסוח פורמלי: לכל <math>\ x\in B</math> מתקיים <math>\ x \in A</math>). |
||
את הקשר "<math>\ B</math> מוכלת ב-<math>\ A</math>" (או: <math>\ B</math> חלקית ל-<math>\ A</math>, או: <math>\ B</math> תת קבוצה של <math>\ A</math>) מסמנים כך: <math>\ B \subseteq A</math>. |
את הקשר "<math>\ B</math> מוכלת ב-<math>\ A</math>" (או: <math>\ B</math> חלקית ל-<math>\ A</math>, או: <math>\ B</math> תת קבוצה של <math>\ A</math>) מסמנים כך: <math>\ B \subseteq A</math>. |
גרסה מ־11:55, 24 בספטמבר 2010
בתורת הקבוצות, אומרים שהקבוצה הנתונה היא תת-קבוצה של הקבוצה הנתונה [1] אם כל איבר של הקבוצה שייך גם לקבוצה . (בניסוח פורמלי: לכל מתקיים ).
את הקשר " מוכלת ב-" (או: חלקית ל-, או: תת קבוצה של ) מסמנים כך: .
מתקיים:
- כל קבוצה היא תת-קבוצה של עצמה (רפלקסיביות).
- הקבוצה הריקה היא קבוצה חלקית לכל קבוצה A. זאת מכיוון שלא קיים בקבוצה הריקה איבר שלא נמצא בקבוצה A (הטענה נכונה באופן ריק כיוון שלקבוצה הריקה אין איברים כלל).
- אם A היא תת-קבוצה של B ו-B תת-קבוצה של C, אזי A תת-קבוצה של C (טרנזיטיביות).
- אם A תת-קבוצה של B ו-B תת-קבוצה של A, אזי A=B.
אם כן, יחס ההכלה הוא יחס סדר חלקי: הוא רפלקסיבי, אנטיסימטרי חלש וטרנזטיבי. היחס אינו שלם, כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הנשים) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.
קבוצה A שווה לקבוצה B אם ורק אם A מכילה את B וכן B מכילה את A. בכתיב פורמלי:
כאשר A מכילה את B אך אינה שווה לה, נאמר ש-A מכילה ממש את B, ונסמן או . בספרים מסויימים משתמשים בסימון עבור "מכילה ממש, ובספרים אחרים משתמשים בסימון זה עבור הכלה רגילה.
ראו גם
- ^ או במילים שקולות: הקבוצה היא חלקית לקבוצה , או: הקבוצה מוכלת בקבוצה , או: הקבוצה מכילה את הקבוצה .