תת-קבוצה

דוגמה לקבוצה עם תת-קבוצה המוכלת בה

בתורת הקבוצות, אומרים שהקבוצה הנתונה $\ B$ היא תת-קבוצה של הקבוצה הנתונה $\ A$ אם כל איבר של הקבוצה $\ B$ שייך גם לקבוצה $\ A$. (בניסוח פורמלי: לכל $\ x\in B$ מתקיים $\ x\in A$).

את הקשר "$\ B$ מוכלת ב-$\ A$" (או: $\ B$ חלקית ל-$\ A$, או: $\ B$ תת קבוצה של $\ A$, או, $\ A$ מכילה את $\ B$) מסמנים כך: $\ B\subseteq A$.

מתקיים:

• כל קבוצה היא תת-קבוצה של עצמה (רפלקסיביות).
• הקבוצה הריקה היא קבוצה חלקית לכל קבוצה A. זאת מכיוון שלא קיים בקבוצה הריקה איבר שלא נמצא בקבוצה A (הטענה נכונה באופן ריק כיוון שלקבוצה הריקה אין איברים כלל).
• אם A היא תת-קבוצה של B ו-B תת-קבוצה של C, אזי A תת-קבוצה של C (טרנזיטיביות).
• אם A תת-קבוצה של B ו-B תת-קבוצה של A, אזי A=B.

אם כן, יחס ההכלה הוא יחס סדר חלקי: הוא רפלקסיבי, אנטיסימטרי חלש וטרנזטיבי. היחס אינו שלם, כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הנשים) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.

קבוצה A שווה לקבוצה B אם ורק אם A מכילה את B וכן B מכילה את A. בכתיב פורמלי:

$A=B\iff B\subseteq A\land A\subseteq B$

כאשר A מכילה את B אך אינה שווה לה, נאמר ש-A מכילה ממש את B, ונסמן $A\supsetneq B.$ או $B\subsetneq A.$. בספרים מסויימים משתמשים בסימון $\subset$ עבור "מכילה ממש, ובספרים אחרים משתמשים בסימון זה עבור הכלה רגילה.

ראו גם

• מונחים בתורת הקבוצות