מסלול הוהמן

מסלול הוֹהְמן (באנגלית: Hohmann transfer orbit) הוא תמרון אסטרונאוטי שנועד להעביר לוויין למסלול גבוה יותר, בטיסה בין כוכבי לכת או בין כל שני מסלולים מעגליים המקיפים מרכז משותף. מסלול הוהמן הוא אחת הדרכים החסכוניות והיעילות להגעה מכוכב לכת אחד למשנהו מאחר שהוא דורש הפעלת דחף רק בתחילתו ובסופו. בתמרון הוהמן אידיאלי המסלול הנמוך והמסלול הגבוה נמצאים על אותו מישור, אך במציאות המסלולים לא תמיד נמצאים על אותו מישור. מסלול זה מתאים למעבר בין מסלול אליפטי למעגלי ולהפך, אך לא לשני מסלולים אליפטיים (שהאקסצנטריות שלהם שונה מאפס).

המסלול נקרא על שמו של וולטר הוהמן (Walter Hohmann), מהנדס ומדען גרמני שפיתח אותו בשנת 1916 ופרסם אותו ב-1925 בספרו "נגישותם של הגופים השמימיים" (The Attainability of the Celestial Bodies).

בשנות ה-20 פיתח במקביל המדען הרוסי ולדימיר וטצ'ינקין (Влади́мир Ветчи́нкин) את עקרונות המסלול, ולכן כינויו ברוסיה הוא מסלול הוהמן-וטצ'ינקין.

מבנה ותכונות המסלול

מסלול הוהמן הוא אליפסה שהפריגיאה שלה (הקצה הקרוב לגוף המרכזי) נמצא על המסלול הנמוך, והאפוגיאה שלה (הקצה הרחוק) נמצא על המסלול הגבוה.

ביצוע טיסה במסלול הוהמן בין כוכבי לכת מתחיל בהפעלת מתקף (ΔV) המשנה את תנועת החללית ממסלולה המעגלי סביב השמש של כוכב המוֹצא אל מסלול אליפטי העתיד להפגש עם כוכב היעד עם השלמתה של מחצית הקפה סביב השמש, ומסתיים בהפעלת דחף נוסף המשנה את המסלול האליפטי בחזרה למעגלי.

מסלול הוהמן טהור מבוסס על הפעלת דחף קצר ובעל עוצמה בתחילתו ובסיומו. מאחר שחלליות לרוב נושאות מנועים בעלי דחף נמוך מכדי לבצע את התמרון, השימוש הנפוץ הוא במסלול מקורב למסלול הוהמן המתבסס על מספר הפעלות דחף המביאות את החללית בהדרגה למסלול אליפטי. המסלול המקורב הוא בזבזני ואיטי ממסלול הוהמן טהור אך עדיין נחשב ליעיל.

את החללית יש לשגר במועד מדויק ומחושב מראש על מנת שבעת הגעתה למסלול היעד, הכוכב אכן יימצא בו, לכן מסלול הוהמן ניתן לביצוע רק בתאריכים מסוימים – "חלונות שיגור".

מסלול הוהמן נחשב למסלול החסכוני ביותר למעבר בין מסלולי הקפה שיחס הגדלים ביניהם הוא עד 1:15.

שימוש במסלול

מסלול הוהמן משמש להעברת לוויינים ממסלול נמוך (LEO - Low Earth Orbit) למסלול גאוסטציונרי תוך שימוש מינימלי בדלק.
בתוכנית אפולו עשתה נחתת הירח שימוש במסלול הוהמן לתנועה בין מסלול הקפה ירחי לפני השטח.
חלליות בין-פלנטריות עושות שימוש במסלול הוהמן. כך למשל, משימת MRO למאדים עשתה שימוש במסלול זה. החללית נכנסה למסלול הוהמן לאחר בעירה רקטית של טיל השיגור שארכה 56 דקות, שלאחריהן שייטה החללית במשך שבעה וחצי חודשים במסלול חצי אליפטי תוך ביצוע ארבעה תיקוני כיוון קלים שבהם הופעלו המנועים למספר עשרות שניות. בסיום המסלול הופעלו ששת מנועי החללית במלוא העוצמה למשך 27 דקות על מנת להכניסה למסלול מאדים. מסלוליהם של כדור הארץ ומאדים סביב השמש מאפשרים שימוש במסלול הוהמן אחת ל-25 חודשים.
בתוכנית סויוז ויורשתה - סויוז-TMA נעשה שימוש במסלול הוהמן בשלבי החזרה מהחלל לכדור הארץ. החללית נעה במסלול הוהמן עד לחדירה לאטמוספירה.

חישובים

עבור גוף קטן המקיף גוף אחר הגדול ממנו בהרבה, כמו לוויין המקיף את כדור הארץ, האנרגיה הכוללת של הגוף הקטן היא סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית שלו, ואנרגיה כוללת זו שווה גם למחצית הפוטנציאל במרחק הממוצע (מחצית הציר הראשי):

$E={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {GMm}{r}}={\frac {-GMm}{2a}}$

פתרון משוואה זו עבור המהירות מניב את משוואת הכוח החי (vis-viva): $v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$ כאשר:

$v$ הוא מהירות הגוף המקיף.
$\mu =GM$ הוא הפרמטר הכבידתי הסטנדרטי של הגוף הראשי, בהנחה שהמסה המשותפת אינה גדולה משמעותית ממסת הגוף הראשי לבדו, כלומר $M+m\approx M$ כך שמתקיים $v_{M}\ll v_{m}$ לפי חוק שימור התנע (ניתן להראות זאת גם על ידי החוק השני והחוק השלישי של ניוטון).
$r$ הוא מרחק הגוף המקיף מהמוקד הראשי.
$a$ הוא הציר הראשי למחצה של מסלול הגוף.

מכאן ניתן לחשב את המתקף הנדרש עבור מעברי הוהמן ΔV, תחת ההנחה של מתקפים (אימפולסים) רגעיים.

כדי להיכנס למסלול האליפטי בנקודה $r=r_{1}$ מתוך המסלול המעגלי $r_{1}$ , כאשר $r_{2}$ הוא האפואפסיס של המסלול האליפטי המתקבל (כלומר כניסה למסלול מעבר אליפטי מרדיוס $r_{1}$ לרדיוס $r_{2}$ כאשר ההאצה בפריאפסיס): $\Delta V_{1}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\left({\sqrt {\frac {2r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}}-1\right)$

כדי לעזוב את המסלול האליפטי בנקודה $r=r_{2}$ אל המסלול המעגלי $r_{2}$ , כאשר $r_{1}$ ו- $r_{2}$ הם בהתאמה הרדיוסים של מסלולי היציאה וההגעה המעגליים (כלומר מעבר ממסלול המעבר למסלול מעגלי סופי ברדיוס $r_{2}$ כאשר ההאצה באפואפסיס): $\Delta V_{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}\left(1-{\sqrt {\frac {2r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}\right)$ הערך הקטן (הגדול) מבין $r_{1}$ ו- $r_{2}$ מתאים למרחק הפריאפסיס (מרחק האפואפסיס) של מסלול המעבר האליפטי של הוהמן.