מספר ראשוני מאוזן

בעיות פתוחות במתמטיקה: האם יש אינסוף מספרים ראשוניים מאוזנים? (בעיות פתוחות נוספות במתמטיקה)

בתורת המספרים, מספר ראשוני מאוזן הוא מספר ראשוני עם רווחים שווים בגודלם מעליו ומתחתיו, כך שהוא שווה למעשה לממוצע החשבוני של שני המספרים הראשוניים הקרובים אליו (הקרוב מתחתיו והקרוב מעליו). בכתיב אלגברי, בהינתן מספר ראשוני $p_{n}$, כאשר $n$ הוא האינדקס שלו בקבוצת המספרים הראשוניים המסודרים,

$p_{n}={\frac {p_{n-1}+p_{n+1}}{2}}$

לדוגמה, $p_{16}={\frac {p_{15}+p_{17}}{2}}=53={\frac {47+59}{2}}$; לפיכך 53 הוא מספר ראשוני מאוזן.

דוגמאות

הראשוניים המאוזנים הראשונים הם

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103 (סדרה A006562 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים).

אינסופיות של ראשוניים מאוזנים

ישנה השערה תאורטית כי יש אינסוף מספרים ראשוניים מאוזנים.

שלושה ראשוניים רצופים המהווים סדרה חשבונית, נקראים לפעמים CPAP-3. ראשוני מאוזן הוא בהגדרה האמצעי בכל קבוצת CPAP-3. נכון ל-2014, בקבוצת CPAP-3 הגדולה ביותר הידוע יש ראשוניים בעלי 10546 ספרות והיא נמצאה על ידי דייוויד ברודהרסט. ערכי הקבוצה הם:

$p_{n}=1213266377\times 2^{35000}+2429,\quad p_{n-1}=p_{n}-2430,\quad p_{n+1}=p_{n}+2430$

הערך של $n$ (דרגתו ברצף כל הראשוניים) אינו ידוע.

הכללה

ניתן להכליל את הגדרת הראשוניים המאוזנים ל"ראשוניים המאוזנים מסדר $n$". ראשוני מאוזן מסדר $n$ הוא מספר ראשוני השווה לממוצע האריתמטי של $n$ הראשוניים הקרובים ביותר מעל ומתחת (וההגדרה של ראשוני מאוזן לעיל היא מקרה פרטי בו $n=1$). אלגברית, בהינתן ראשוני $p_{k}$, כאשר $k$ הוא המיקום שלו בקבוצת המספרים הראשוניים המסודרים,

$p_{k}={\frac {1}{2n}}\sum _{i\,=\,1}^{n}(p_{k-i}+p_{k+i})$

לפיכך, כאמור ראשוני מאוזן "רגיל" הוא ראשוני מאוזן מסדר 1. רצפי הראשוניים המאוזנים של צו 2, 3 ו-4 ניתנים כרצף A082077 ב-OEIS, רצף A082078 ב-OEIS ורצף A082079 ב-OEIS בהתאמה.