סדרה חשבונית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע: ( הוא האיבר ה--י בסדרה).
דוגמה: בסדרה: 3, 5, 7, 9, 11, ..., ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע – 2.

סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים:

  • – האיבר הראשון בסדרה
  • – ההפרש הקבוע בין (כל) שני איברים עוקבים בסדרה
  • – מספר האיברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או אינסופי)

לפי מאפיינים אלה, ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה.

נוסחאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסחה לאיבר הכללי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם הוא האיבר הראשון, ו- הוא ההפרש, האיבר ה- נתון על ידי הנוסחה: .

הוכחה לנוסחת האיבר הכללי:

החלק השמאלי של השוויון האחרון הוא טור טלסקופי, שבו כל האיברים מבטלים אחד את השני למעט שניים:

נוסחה לסכום הסדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה- (כולל) לפי הנוסחה:

בסדרה חשבונית, כל איבר מהווה ממוצע חשבוני של האיברים הקודם והעוקב לו:

ומכאן שְׁמָהּ (בדומה לסדרה הנדסית ולסדרה הרמונית).

הוכחה לנוסחת הסכום:

את הסכום של האיברים הראשונים בסדרה: , ניתן לרשום בשני אופנים:

נחבר בהתאמה את האגפים של שני השוויונות האלה, ולאחר שאיברים שווי ערך אך שוני סימן יבטלו זה את זה נקבל:

ולכן:

(גם זו נוסחה שימושית במקרים רבים)

כזכור, מצאנו מקודם שמתקיים: , והצבת נתון זה בנוסחת הסכום האחרונה תיתן:

נוסחאות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסחה לחישוב ההפרש בין סכום האיברים הזוגיים לבין סכום האיברים האי-זוגיים: .

הוכחת הנוסחה:

נתונה סדרה: , כאשר מספר האיברים הוא זוגי והאיבר האחרון הוא (כלומר, יש איברים בסדרה). נחשב את סכום האיברים הזוגיים והאי-זוגיים על פי נוסחת הסכום. מכיוון שמספר האיברים הוא זוגי, אז מספר האיברים שמיקומם (האינדקס שלהם) זוגי שווה למספר האיברים שמיקומם אי-זוגי, ומכיוון שמספר האיברים הכולל הוא , אז ישנם איברים שמקומם זוגי ו- איברים שמקומם אי-זוגי. סכום האיברים הזוגיים:

הוא האיבר הראשון בסדרה הזוגית, ומכיוון שהפרש הסדרה הוא , אז ההפרש בין כל שני איברים שמקומם זוגי הוא .

נציב במשוואה המקורית. לאחר פישוט נקבל: .

נעשה כך גם עם הסדרה האי-זוגית, ונקבל: .

נחסר את המשוואה השנייה מן המשוואה הראשונה, ונקבל: מכיוון שמספר האיברים המקורי שלנו הוא ואנו מעוניינים בנוסחה עבור סדרה בת איברים, נחלק את ה- במשוואה שהתקבלה בשתיים (נציב במקום ).
נקבל:

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדגמה ציורית של הנוסחה הראשונה (ראו ערך מספר ריבועי)
  • הסכום של הסדרה החשבונית: 1, 3, 5, ..., בעלת איברים הוא .
  • הסכום של הסדרה החשבונית: 2, 4, 6, ..., בעלת איברים הוא .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]