סדרה חשבונית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע: \ a_{n+1}-a_n=d (\ a_n הוא האיבר ה-\ n-י בסדרה).
דוגמה: בסדרה: 3, 5, 7, 9, 11, ..., ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע – 2.

סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים:

  • \ a_1 – האיבר הראשון בסדרה
  • \ d – ההפרש הקבוע בין (כל) שני איברים עוקבים בסדרה
  • \ n – מספר האיברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או אינסופי)

לפי מאפיינים אלה, ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה.

נוסחאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסחה לאיבר הכללי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם a_1 הוא האיבר הראשון, ו-d הוא ההפרש, האיבר ה-n נתון על ידי הנוסחה: a_n=a_1+(n-1) \cdot d.

הוכחה לנוסחת האיבר הכללי:\ (a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+(a_5-a_4)+...+(a_{n-1}-a_{n-2})+(a_n-a_{n-1})=d \cdot (n-1)

החלק השמאלי של השוויון האחרון הוא טור טלסקופי, שבו כל האיברים מבטלים אחד את השני למעט שניים:

\ -a_1+a_n=d(n-1)

\ a_n=a_1+d(n-1)

נוסחה לסכום הסדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה-n (כולל) לפי הנוסחה:

S_n=\frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}

בסדרה חשבונית, כל איבר מהווה ממוצע חשבוני של האיברים הקודם והעוקב לו:{\displaystyle  a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2 } ומכאן שְׁמָהּ (בדומה לסדרה הנדסית ולסדרה הרמונית).

הוכחה לנוסחת הסכום:

את הסכום של n האיברים הראשונים בסדרה:  S_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n, ניתן לרשום בשני אופנים:  S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d) S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n

נחבר בהתאמה את האגפים של שני השוויונות האלה, ולאחר שאיברים שווי ערך אך שוני סימן יבטלו זה את זה נקבל:

\ 2S_n=n(a_1+a_n)

ולכן:

 S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2} (גם זו נוסחה שימושית במקרים רבים)

כזכור, מצאנו מקודם שמתקיים: \ a_n=a_1+d(n-1), והצבת נתון זה בנוסחת הסכום האחרונה תיתן:

 S_n=\frac{n(a_1+a_1+d(n-1))}{2}=\frac{n[2a_1+d(n-1)]}{2}

נוסחאות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסחה לחישוב ההפרש בין סכום האיברים הזוגיים לבין סכום האיברים האי-זוגיים: S_{\frac{n}{2}(even)}-S_{\frac{n}{2}(odd)}=\frac{nd}{2}.

הוכחת הנוסחה:

נתונה סדרה: \ a_1,a_2,a_3,....a_{2n}, כאשר מספר האיברים הוא זוגי והאיבר האחרון הוא a_{2n} (כלומר, יש 2n איברים בסדרה). נחשב את סכום האיברים הזוגיים והאי-זוגיים על פי נוסחת הסכום. מכיוון שמספר האיברים הוא זוגי, אז מספר האיברים שמיקומם (האינדקס שלהם) זוגי שווה למספר האיברים שמיקומם אי-זוגי, ומכיוון שמספר האיברים הכולל הוא 2n, אז ישנם n איברים שמקומם זוגי ו-n איברים שמקומם אי-זוגי. סכום האיברים הזוגיים: \ S_{n(even)}=\frac{n(2a_2+(n-1)2d)}{2}

\ a_2 הוא האיבר הראשון בסדרה הזוגית, ומכיוון שהפרש הסדרה הוא \ d, אז ההפרש בין כל שני איברים שמקומם זוגי הוא \ 2d.

נציב \ a_2=a_1+d במשוואה המקורית. לאחר פישוט נקבל: \ S_{n(even)}=na_1+n^2d.

נעשה כך גם עם הסדרה האי-זוגית, ונקבל: \ S_{n(odd)}=na_1+n^2d-nd.

נחסר את המשוואה השנייה מן המשוואה הראשונה, ונקבל: \ S_{n(even)}-S_{n(odd)}=nd מכיוון שמספר האיברים המקורי שלנו הוא \ 2n ואנו מעוניינים בנוסחה עבור סדרה בת n איברים, נחלק את ה-\ n במשוואה שהתקבלה בשתיים (נציב \frac{n}{2} במקום \ n).
נקבל: S_{\frac{n}{2}(even)}-S_{\frac{n}{2}(odd)}=\frac{nd}{2}

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדגמה ציורית של הנוסחה הראשונה (ראו ערך מספר ריבועי)
  • הסכום של הסדרה החשבונית: 1, 3, 5, ..., בעלת n איברים הוא \ n^2.
  • הסכום של הסדרה החשבונית: 2, 4, 6, ..., בעלת n איברים הוא \ n(n+1).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]