מרחב מנה (אלגברה לינארית)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי V המתקבל מתת-מרחב W, הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" W ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן V/W. הגדרה זו יצר פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו "Finite dimensional vector spaces".

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהא V מרחב וקטורי מעל שדה \mathbb{F}, ויהי W תת-מרחב שלו. נגדיר יחס שקילות על ידי v \sim u \Leftrightarrow v-u \in W עבור כל v,u \in V. לא קשה להיווכח כי זה אכן יחס שקילות.

נסמן את מחלקת השקילות של וקטור v \in V להיות \left[v\right] = \left\{u \in V \mid u \sim v \right\}, ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן V/W. ניתן להגדיר באופן טבעי על V/W מבנה של מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}, על ידי פעולת חיבור \left[v\right]+\left[u\right] = \left[v+u\right] וכפל בסקלר \lambda \cdot \left[v\right] = \left[\lambda \cdot v \right].

ניתן להראות כי אם V מרחב וקטורי מממד סופי, אז \dim\left(V/W\right) = \dim \left(V\right) - \dim \left(W\right).

דוגמאות למרחב מנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם נתבונן במרחב הווקטורי V = \mathbb{R}^2 ובתת המרחב W = \left\{\left(x,y\right) \mid x=y \right\} (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל V/W הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב-\mathbb{R}^2, ומרחב זה איזומורפי באופן טבעי למרחב \mathbb{R}.
  • באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי \mathbb{R}^n ובתת מרחב שלו \mathbb{R}^m לאיזה m<n המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה \mathbb{R}^n/\mathbb{R}^m איזומורפי באופן טבעי למרחב \mathbb{R}^{n-m}.
  • באופן עוד יותר כללי, אם V = W \oplus U, אז מרחב המנה V/U איזומורפי באופן טבעי למרחב W.