מרחב מנה (אלגברה לינארית)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, המנה של מרחב וקטורי V בתת-מרחב N הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" N ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו נקרא מרחב מנה וסימנו: V/N.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

את ההגדרה המובאת להלן בנה פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו Finite dimensional vector spaces. יהא V מרחב וקטורי מעל שדה F ו-W תת מרחב שלו. מגדירים יחס ב-V : x \sim y \Leftrightarrow x-y \in W עבור x,y וקטורים ב־V זהו יחס שקילות.

מחלקת השקילות של וקטור x ב־V היא: [x]=\left\{y \in V : x \sim y\right\}

מגדירים פעולת חיבור מחלקות כך: \left[x\right] + \left[y\right] = \left[x + y\right]
וכן מגדירים כפל מחלקה בסקלר a מהשדה F: a\left[x\right]=\left[ax\right]
ומתקבל מרחב וקטורי המכונה מרחב המנה של V מעל W המסומן: V/W.

הוכחת ~ יחס שקילות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • רפלקסיביות: מאחר ש x ∈ W מתקיים x-x = 0 ∈ W.
  • סימטריות: x-y ∈ W ומשום תכונת הסגירות במרחב גם מתקיים y-x ∈ W.
  • טרנזיטיביות: x-y,y-z ∈ W ומשום תכונת הסגירות במרחב גם מתקיים (x-y)+(y-x) = x-z ∈ W.

דוגמאות למרחב מנה[עריכת קוד מקור | עריכה]