מרחב מנה (אלגברה לינארית)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי המתקבל מתת-מרחב , הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן . הגדרה זו יצר פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו "Finite dimensional vector spaces".

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהא מרחב וקטורי מעל שדה , ויהי תת-מרחב שלו. נגדיר יחס שקילות על ידי עבור כל . לא קשה להיווכח כי זה אכן יחס שקילות.

נסמן את מחלקת השקילות של וקטור להיות , ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן . ניתן להגדיר באופן טבעי על מבנה של מרחב וקטורי מעל , על ידי פעולת חיבור וכפל בסקלר .

ניתן להראות כי אם מרחב וקטורי מממד סופי, אז .

דוגמאות למרחב מנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם נתבונן במרחב הווקטורי ובתת המרחב (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב-, ומרחב זה איזומורפי באופן טבעי למרחב .
  • באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי ובתת מרחב שלו לאיזה המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה איזומורפי באופן טבעי למרחב .
  • באופן עוד יותר כללי, אם , אז מרחב המנה איזומורפי באופן טבעי למרחב .
  • יהי מרחב מידה. נקבע כלשהו, ויהי אוסף הפונקציות המדידות מהצורה או , המקיימות . מאי-שוויון מינקובסקי נובע כי מקיימת את אי-שוויון המשולש, ולכן היא סמי-נורמה של . כדי להפוך את לנורמה, התכונה החסרה היא כי . כדי לתקן זאת, ניתן להתבונן בתת-המרחב (נשים לב כי מרחב זה אינו תלוי ב-), ונקבל כי על המרחב , מתקבלת על ידי נורמה טבעית.