אי-שוויון מינקובסקי

באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי הוא אי-שוויון הקרוי על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי. אי-שוויון זה הוא וריאציה של אי-שוויון המשולש לנורמה $p$ במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.

בממד סופי

עבור $p\geq 1$, מגדירים את נורמת ${\ell }_{p}$ של וקטור $x\in \mathbb {R} ^{n}$ לפי הנוסחה $||{\overrightarrow {x}}||_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}}^{p}|}}}$.

אי-שוויון מינקובסקי קובע כי: $||x+y||_{p}\leq ||x||_{p}+||y||_{p}$, לכל שני וקטורים $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$.

חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת ${\ell }_{p}$ מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.

הוכחה

נוכיח את נכונות אי-השוויון.

לפי אי-שוויון המשולש:

${{||x+y||}_{p}}^{p}=\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p}}=\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}||{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}\leq \sum _{i=1}^{n}{{(|{x}_{i}|+|{y}_{i}|)\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}=\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}+\sum _{i=1}^{n}{{|{y}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}$

כעת, לפי אי-שוויון הולדר:

$\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}+\sum _{i=1}^{n}{{|{y}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}\leq ({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){[\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}|}^{q(p-1)}}]}^{\frac {1}{q}}=({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){[\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p}}]}^{\frac {p-1}{p}}=({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){{||x+y||}_{p}}^{p-1}$

ולכן: ${{||x+y||}_{p}}^{p}\leq ({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){{||x+y||}_{p}}^{p-1}$, ולאחר צמצום נקבל ${{||x+y||}_{p}}\leq {||x||}_{p}+{||y||}_{p}$.

בתורת המידה

ערך מורחב – מרחב Lp

בתורת המידה, נורמה-$p$ של פונקציה על מרחב מידה $(X,S,\mu )$ מוגדרת כך - $||f||_{p}=(\int _{X}{|f|^{p}d\mu })^{\frac {1}{p}}$. המרחב $L^{p}(X)$ הוא אוסף כל הפונקציות עבורן $||f||_{p}<\infty$; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי).

באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי שוויון מינקובסקי - $||f+g||_{p}\leq ||f||_{p}+||g||_{p}$, ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך. במקרה $p=2$ מתקבל מרחב הילברט $L^{2}(X)$.

המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי $L^{p}$; הוא מתקבל עבור המרחב $L^{p}(X_{n},P(X_{n}),\#)$, כאשר $X_{n}=\{1,...,n\}$ ו-$\#$ היא מידת הספירה (כמות האיברים בקבוצה).

ראו גם

• נורמה
• אי-שוויון הולדר
• מרחב Lp

קישורים חיצוניים

• אי-שוויון מינקובסקי, באתר MathWorld (באנגלית)