אי-שוויון מינקובסקי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי הוא אי-שוויון הקרוי על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי. אי-שוויון זה הוא ואריאציה של אי-שוויון המשולש לנורמה במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.

בממד סופי[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור , מגדירים את נורמת של וקטור לפי הנוסחה .

אי-שוויון מינקובסקי קובע כי: , לכל שני וקטורים .

חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוכיח את נכונות אי-השוויון.

לפי אי-שוויון המשולש:

כעת, לפי אי-שוויון הולדר:

ולכן: , ולאחר צמצום נקבל .

בתורת המידה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מרחב Lp

בתורת המידה, נורמה- של פונקציה על מרחב מידה מוגדרת כך - . המרחב הוא אוסף כל הפונקציות עבורן ; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי).

באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי שוויון מינקובסקי - , ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך. במקרה מתקבל מרחב הילברט .

המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי ; הוא מתקבל עבור המרחב , כאשר ו- היא מידת הספירה (כמות האיברים בקבוצה).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]