אי-שוויון המשולש

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Triangle inequality.svg

במתמטיקה, אי-שוויון המשולש הוא אי-שוויון מהצורה , כאשר היא פונקציית מרחק. אי-השוויון מתאר את העובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; בפרט, אורכה של צלע במשולש אינו עולה על סכום אורכי הצלעות האחרות. אי-שוויון המשולש נחשב לתכונה יסודית של כל שיטה למדידת מרחק, ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל מרחב מטרי או נורמי. הגרסה החזקה נקראת אי-שוויון המשולש למטריקות לא ארכימדיות.

אי-שוויון המשולש בין מספרים ממשיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בין המספרים הממשיים מודדים מרחק באמצעות הערך המוחלט, ולכן אי-שוויון המשולש הוא . כשבוחרים c=0, b=y ו- a=x+y, מתקבלת הצורה החלופית . צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני אי-השוויונים ו- , או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של x ושל y.
גרסה נוספת של אי-שוויון המשולש היא:

הוכחת פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוכיח ש-. אם חיוביים אז . אם שניהם שליליים, . המקרה היחיד שבו יש מה להוכיח הוא כאשר אחד המשתנים חיובי ואחד שלילי. מכיוון ששני האגפים סימטריים, אפשר להניח ש-, ואז .

המקרה המרוכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

אי-שוויון המשולש במישור המרוכב הוא הטענה , המתייחסת למספרים מרוכבים. ניתן להוכיח את נכונותו שם בכמה דרכים: גאומטרית, הוא שקול לתכונות היסוד של משולש; אלגברית, אפשר לקבל אותו על ידי העברת אגפים מתאימה והעלאה בריבוע; וניתן להסיק אותו מאי-השוויון הממשי באמצעות משפט פיתגורס.

אי-שוויון המשולש במרחבים מופשטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אי-שוויון המשולש מבטא את העובדה שלא ניתן לקצר את הדרך מ- A ל- C על ידי מעבר בנקודה B. זוהי תכונה יסודית כל-כך של מושג ה"מרחק", עד שהיא מהווה אחת מהאקסיומות המגדירות מטריקה ומרחב מטרי. מאותה סיבה, מניחים את האקסיומה בהגדרה של נורמה ומרחב נורמי.

הצד השני של אי-שוויון המשולש, אותו ניתן להוכיח על ידי העברת אגפים, הוא .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]