אי-שוויון המשולש

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Triangle inequality.svg

במתמטיקה, אי-שוויון המשולש הוא אי-שוויון מהצורה \ d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C), כאשר \ d(\cdot,\cdot) היא פונקציית מרחק. אי-השוויון מתאר את העובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; בפרט, אורכה של צלע במשולש אינו עולה על סכום אורכי הצלעות האחרות. אי-שוויון המשולש נחשב לתכונה יסודית של כל שיטה למדידת מרחק, ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל מרחב מטרי או נורמי. הגרסה החזקה \ d(A,C)\leq \max\{d(A,B),d(B,C)\} נקראת אי-שוויון המשולש למטריקות לא ארכימדיות.

אי-שוויון המשולש בין מספרים ממשיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בין המספרים הממשיים מודדים מרחק באמצעות הערך המוחלט, ולכן אי-שוויון המשולש הוא \ |a-c|\leq |a-b|+|b-c|. כשבוחרים c=0, b=y ו- a=x+y, מתקבלת הצורה החלופית \ |x+y|\leq |x|+|y|. צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני אי-השוויונים \ -|x|\leq x \leq |x| ו- \ -|y|\leq y \leq |y|, או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של x ושל y.
גרסה נוספת של אי-שוויון המשולש היא: |x-y| \geq \bigg||x|-|y|\bigg|

הוכחת פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוכיח ש-\ |x+y|\leq |x|+|y|. אם \ x,y חיוביים אז \ |x+y|=x+y=|x|+|y|. אם שניהם שליליים, \ |x+y| = -(x+y) = (-x)+(-y) = |x|+|y|. המקרה היחיד שבו יש מה להוכיח הוא כאשר אחד המשתנים חיובי ואחד שלילי. מכיוון ששני האגפים סימטריים, אפשר להניח ש-\ x<0<y, ואז \ |x+y| = \max\{x+y,-x-y\} \leq \max\{y,-x\} < y+(-x) = |y|+|x|.

המקרה המרוכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

אי-שוויון המשולש במישור המרוכב הוא הטענה \ |x+y|\leq |x|+|y|, המתייחסת למספרים מרוכבים. ניתן להוכיח את נכונותו שם בכמה דרכים: גאומטרית, הוא שקול לתכונות היסוד של משולש; אלגברית, אפשר לקבל אותו על ידי העברת אגפים מתאימה והעלאה בריבוע; וניתן להסיק אותו מאי-השוויון הממשי באמצעות משפט פיתגורס.

אי-שוויון המשולש במרחבים מופשטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אי-שוויון המשולש מבטא את העובדה שלא ניתן לקצר את הדרך מ- A ל- C על ידי מעבר בנקודה B. זוהי תכונה יסודית כל-כך של מושג ה"מרחק", עד שהיא מהווה אחת מהאקסיומות המגדירות מטריקה ומרחב מטרי. מאותה סיבה, מניחים את האקסיומה \ \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\| בהגדרה של נורמה ומרחב נורמי.

הצד השני של אי-שוויון המשולש, אותו ניתן להוכיח על ידי העברת אגפים, הוא \ d(A,C)\geq d(A,B)-d(B,C).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]