מרחב מנה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, מרחב מנה הוא מרחב טופולוגי שנוצר על ידי "צמצום" של מרחב טופולוגי על ידי פונקציה, יחס שקילות או פעולת חבורה. הטופולוגיה של מרחב המנה נקראת טופולוגית המנה.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרה על ידי פונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן מרחב טופולוגי \left(X,\tau_X \right) וקבוצה Y (שעליה אין בהכרח טופולוגיה), עם פונקציה \ f: X \rightarrow Y שהיא על, נגדיר טופולוגיה על Y על ידי \ \tau_Y= \left\{ U \sub Y : f^{-1} (U) \in \tau_X \right\}. טופולוגיה זו נקראת טופולוגית המנה, ופונקציה כזו נקראת פונקציית מנה. בדרך זו אנו מכריחים את הפונקציה להיות רציפה, על ידי בניית טופולוגיה מתאימה על המרחב השני: טופולוגית המנה על Y הינה הטופולוגיה העשירה ביותר שבעבורה f רציפה. כלומר, אם X,Y שניהם מרחבים טופולוגיים ו-f:X \to Y רציפה, אז הטופולוגיה הנתונה של Y עשויה להיות דלה יותר מטופולוגיית המנה.

כאשר X מרחב קומפקטי ו-Y מרחב האוסדורף, ו-f פונקציה רציפה ועל, אז הטופולוגיה של Y היא טופולוגית המנה.

הגדרה על ידי יחס שקילות[עריכת קוד מקור | עריכה]

דרך נוספת להגדרת טופולוגית המנה היא על ידי יחס שקילות. אם X מרחב טופולוגי שמוגדר עליו יחס שקילות R, מרחב המנה הוא קבוצת מחלקות השקילות ביחס R, אותה נסמן X/R, כאשר הטופולוגיה עליה מתקבלת כמו בהגדרה לעיל על ידי פונקציה, עבור פונקציית ההטלה למחלקות השקילות. כלומר, \tau_{X/R} = \left\{U \subset X/R \mid p^{-1}\left(U\right) \in \tau_X\right\}, כאשר p: X \to X/R היא הפונקציה p\left(x\right) = \left[x\right] = \left\{y \in X \mid xRy\right\}.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עיגול במישור הופך לספירה (במרחב התלת-ממדי) על ידי כיווץ השפה שלו (המעגל) לנקודה אחת.
  • הספירה הדו-ממדית S^2 \subset \mathbb{R}^3 ניתנת להצגה כמרחב מנה של הכדור היחידה במישור D^1, על ידי יחס השקילות המזהה את כל שפתו של D^1 עם נקודה יחידה (למשל הקוטב הצפוני). בנייה זו מדגימה כיצד פעולת מנה אינה משמרת תכונות גאומטריות; בעוד שהעיגול ניתן לשיכון במישור, לאחר פעולת המנה מתקבלת ספירה דו-ממדית אותה כבר ניתן לשכן רק במרחב התלת-ממדי.
  • המרחב הפרוייקטיבי \mathbb{FP}^n הוא מרחב מנה של \mathbb{F}^n המתקבל על ידי יחס השקילות \vec x \sim \lambda \vec x לכל \vec x \in \mathbb{F}^n ולכל סקלר \lambda \neq 0.