ספירה (גאומטריה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בגאומטריה ובטופולוגיה, ספֵירה היא קבוצת הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת ("המרכז") הוא קבוע. ספירה היא השפה של כדור. בגאומטריה, המונח "ספירה" מתייחס בדרך כלל לספירה הדו-ממדית, שהיא שפתו של הכדור התלת ממדי (ראו איור משמאל). באופן כללי, הספירה המתאימה לכדור n-ממדי היא יריעה מממד n-1. כך למשל הספירה החד-ממדית היא המעגל, שפתו של העיגול, שהוא הכדור הדו-ממדי. בטופולוגיה יש חשיבות לספירה מכל ממד שהוא; את הספירה מממד n מסמנים ב- \ S^n.

ספירה מסתובבת

גאומטריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

במרחב האוקלידי ה-n ממדי, ספירה היא קבוצת כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה - מרכז הספירה - הוא קבוע חיובי. קבוע זה נקרא הרדיוס של הספירה. כאשר r=1 הספירה נקראת ספירת היחידה. המימד של ספירה במרחב ה-n ממדי הוא n-1.

אפשר ליצור ספירה n-1 ממדית על ידי סיבוב ספירה n-2 ממדית סביב קוטר; לספירה המתקבלת יש אותו קוטר כמו לספירה המסתובבת. לדוגמה (כאשר n=3), אפשר ליצור את שפת הכדור התלת-ממדי על ידי סיבוב של מעגל סביב הקוטר שלו. במקרה הזה רדיוס הספירה יהיה כרדיוס המעגל. בדומה לזה, סיבוב של אליפסה סביב אחד מציריה נותן ספרואיד.

משוואה מגדירה ותאור פרמטרי[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשוואה המתארת ספירה דו-ממדית שמרכזה בנקודה \ (x_0 , y_0 , z_0 ) ורדיוסה r היא (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z -  z_0 )^2 =  r^2 \,. ניתן להציג את הספירה בקואורדינטות ספריות, שבהן כל נקודה מתוארת באמצעות שתי זוויות:  x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \phi ,  y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \phi \, ו-  z = z_0 + r \cos \theta  \, (כאשר 0 \leq \theta \leq \pi ,  -\pi < \phi \leq \pi).

מושגים קשורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

שתי נקודות על הספירה נקראות נקודות אנטיפודיות אם הקו הישר שעובר דרכן הוא קוטר. לכל נקודה על הספירה קיימת נקודה אנטיפודית יחידה, והמרחק ביניהן הוא המרחק המקסימלי בין כל שתי נקודות על הספירה. אם מרכז הספירה הוא ראשית הצירים אז הנקודה האנטיפודית ל- \vec x היא -\vec x.

הספירה ה-n ממדית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להכליל את הספירה על ידי ההצגה הגאומטרית שלה כשפה של הכדור התלת ממדי. לכל n טבעי הספירה ה-n ממדית מוגדרת להיות השפה של הכדור ה-n+1 ממדי (תמיד ממד הכדור שהספירה חוסמת גדול באחד ממד הספירה). ממד זה הוא ממד הספירה כיריעה טופולוגית. כך מתקבל (עבור הרדיוס r):

  • הספירה ה-0 ממדית היא זוג הנקודות {r,-r}
  • הספירה החד-ממדית היא המעגל ברדיוס r.
  • הספירה הדו-ממדית היא הספירה הרגילה, מעטפת הכדור התלת ממדי.
  • הספירה התלת ממדית היא אוסף נקודות במרחב הארבע-ממדי שמרחקן ממרכז הספירה הוא r.

את ספירת היחידה ה-n ממדית מסמנים ב-\mathbb{S}^n. כל הספירות ה-n ממדיות דיפאומורפיות ולכן ברב השימושים אין הבדל בין ספירה כלשהי לספירת היחידה. לפי נוסחת המרחק האוקלידי, ספירת היחידה ה-n ממדית שממורכזת בראשית הצירים היא

 \mathbb{S}^n=\ \{ (x_1,x_2, \dots , x_n, x_{n+1} ) \in \mathbb{R}^{n+1} |\  \sum_{i=1}^{n+1} x_i ^2  =1 \ \}.

שטח פנים ונפח של ספירה n-ממדית[עריכת קוד מקור | עריכה]

שטח הפנים של ספירה n-1 ממדית ברדיוס 1 הוא 2 \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}, כאשר \ \Gamma(z) היא פונקציית גמא של אוילר.

נוסחה מפורשת לשטח הפנים של ספירה n-1 ממדית: 
A =
  \begin{cases}
    \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)} ,      & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\
    \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)} , & \text{if } n \text{ is odd}.
  \end{cases}
,

ונפח הכדור התחום על ידי הספירה הוא שטח הפנים כפול {r \over n}, כלומר 
V = 
  \begin{cases}
    \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n} ,      & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\
    \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n} , & \text{if } n \text{ is odd}.
  \end{cases}
.

ספירה במרחבים מטריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הספירה מוגדרת כאוסף הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, הוא קבוע. בהתאם לכך הכללת מושג הספירה למרחב מטרי כללי X היא טבעית- הספירה שמרכזה x ורדיוסה r היא אוסף כל הנקודות שמרחקן מ-x הוא בדיוק r.

\ S(x,r)= \left\{ y\in X : d(x,y) =r \right\} = \partial B(x,r)

זוהי קבוצה סגורה וחסומה. ייתכן שהספירה תהיה קבוצה ריקה, כך לדוגמה במרחב \Z^2 עם המטריקה האוקלידית הספירה S(0,\sqrt3) היא קבוצה ריקה כי לא קיימים x,y \in \Z כך ש- \ x^2 + y^2 = \sqrt3^2=3.

ספירות טופולוגית[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצה במרחב טופולוגי כללי נקראת ספירה n-ממדית אם היא הומאומורפית לספירה ה-n ממדית במרחב האוקלידי. ככזו היא יריעה טופולוגית מממד n, אבל לא בהכרח חלקה. יתר על כן קיימות ספירות טופולוגיות שהן גם יריעות חלקות, אבל אינן דיפאומורפיות לספירה ה-n ממדית הרגילה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]