משפט ארדש-סקרש

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Monotone-subseq-17-5.png

במתמטיקה דיסקרטית, משפט ארדש-סקרש הוא משפט הקובע, שלכל טבעיים, בכל סדרה באורך של מספרים ממשיים שונים יש תת-סדרה עולה באורך או תת-סדרה יורדת באורך . זהו משפט טיפוסי בתורת רמזי - במבנה גדול דיו אי אפשר להימנע ממידה מסוימת של סדר.

את המשפט הוכיחו פאול ארדש וגאורגה סקרש, במאמר שפרסמו בשנת 1935.

המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו מספרים טבעיים, ותהי סדרה של מספרים ממשיים שונים. אזי יש תת-סדרה מונוטונית עולה ממש באורך , או שיש תת-סדרה מונוטונית יורדת ממש באורך .

המשפט נכון גם אם לא דורשים שהמספרים יהיו שונים, כאשר בניסוחו מחליפים את "יורדת ממש" ב- "יורדת" (כלומר לא עולה), ואת "עולה ממש" ב- "עולה" (כלומר לא יורדת). החסם שנותן המשפט הוא הדוק, כלומר הטענה אינה נכונה עבור סדרות באורך .

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה ראשונה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נגדיר לכל את להיות אורך תת-הסדרה העולה הארוכה ביותר המתחילה ב, ובאופן דומה את להיות אורך תת-הסדרה היורדת הארוכה ביותר המתחילה ב.

למה: אם עבור , אז . באופן דומה אם עבור כך .

הוכחה: אם ו, אז לכל תת-סדרה עולה שמתחילה ב ניתן לצרף בתחילתה את ולקבל תת-סדרה עולה ארוכה יותר. מכאן , בסתירה לנתון. באופן דומה ניתן לקבל את הלמה על ו- .

כעת נעבור להוכחת המשפט עצמו. נניח בשלילה כי אין תת-סדרה עולה ממש באורך ואין תת-סדרה יורדת ממש באורך . לכן לכל מתקיים . כמו כן , ולכן יש רק אפשרויות לערכי הזוג הסדור . לעומת זאת יש זוגות כנ"ל: .

מעקרון שובך היונים קיימים כך ש . כלומר וגם . לכן מהלמה וגם . סתירה.

הוכחה שנייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל מספר נבחר את להיות אורך הסדרה היורדת הקטנה ביותר המתחילה ב. אם אחד מאיברי הסדרה גדול מ-, תת-הסדרה המתאימה לו היא תת-סדרה יורדת מאורך גדול מ-. אם לא, על פי עקרון דיריכלה יש לפחות איברים בסדרה השווים זה לזה, נסמן את תת-הסדרה המתאימה להם ב- ואת ערכם המשותף ב-. נשים לב ש בהכרח קטן מ (אחרת היה אפשר לקחת את הסדרה המתחילה ב, לאחריו ולאחר מכן את הסדרה באורך המתחילה ב-, ובכך למצוא סדרה יורדת המתחילה ב בעלת אורך גדול מ). אותו נימוק תקף לכל האיברים, לכן אם ניקח אותם נקבל סדרה עולה כמבוקש.

יתרונה של ההוכחה השנייה היא שהיא קונסטרוקטיבית, כלומר מספקת אלגוריתם למציאת הסדרה ולא רק מוכיחה את קיומה.

הוכחה שהחסם הדוק[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו מספרים טבעיים, ונסתכל על הסדרה הבאה:

.

נשים לב שהסדרה מכילה את כל המספרים מ-1 ועד , ולכן יש בה בדיוק איברים. כמו כן, נשים לב שאחרי כל איבר יש לכל היותר איברים קטנים ממנו, ובפרט סדרה יורדת מקסימלית היא באורך לכל היותר. בנוסף, אם נחלק את הסדרה ל- תתי סדרות באורך - אז עבור כל איבר, האיבר הבא אחריו שגדול ממנו חייב להימצא בתת-הסדרה הבאה. לכן, תת-סדרה עולה מקסימלית היא באורך . לכן, אין לסדרה זו תת-סדרה יורדת באורך , וכן אין לה תת-סדרה עולה באורך . לפיכך, אין משפט ארדש-סקרש מתקיים עבור סדרות באורך .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]