הוכחה בדרך השלילה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הוכחה בדרך השלילה, ידועה גם בשם הוכחה עקיפה, ובלטינית Reductio ad absurdum (רֶדּוּקְצְיוֹ אַדּ אַבְּסוּרְדּוּם - רדוקציה לאבסורד .R.A) היא טכניקת הוכחה, במתמטיקה, לוגיקה ופילוסופיה, במסגרתה מוכיחים ששלילת ההנחה המבוקשת היא סתירה (אבסורד), ועל כן ההנחה נכונה. הסתירה מוכיחה שנקודת המוצא שלנו הייתה שגויה.

יש לשים לב כי שיטה זו משתמשת בכלל השלישי מן הנמנע בלוגיקה - או שמשהו הוא נכון, או שהוא אינו נכון, ועל כן אם הנחנו שהטענה אינה נכונה והגענו לסתירה, נובע מכך שהיא בהכרח נכונה. ישנם זרמים במתמטיקה, דוגמת האינטואיציוניזם, שאינם מקבלים כלל זה, ובפרט דוחים את הטענה ששלילה כפולה משמעותה חיוב. על כן אינם רואים הוכחה בדרך השלילה כהוכחה קבילה.

מתמטיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה בדרך השלילה נפוצה למדי במתמטיקה. אוקלידס הרבה להשתמש בהוכחות בדרך השלילה, וכמה מהן התפרסמו במיוחד, כמו ההוכחה לכך שאין מספר ראשוני שהוא הגדול ביותר, כלומר שיש אינסוף מספרים ראשוניים. ההוכחה מובאת במלואה בערך קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים. הוכחה על דרך השלילה נוספת הידועה כבר מן הזמן העתיק ומופיעה למשל בכתבי אריסטו היא ההוכחה ששורש 2 אינו רציונלי.

פילוסופיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההוכחה הראשונה על דרך השלילה בפילוסופיה מיוחסת לפילוסופים האלאטים, אף על פי כן נראה שכבר הפיתגוראים השתמשו בה. יש הטוענים כי ראשון המשתמשים בה היה זנון מאליאה שכן הוא הוכיח את טענת מורו פארמנידס באמצעות רדוקציה אד אבסורדום של טענות מתנגדיו. הטענות אותן הפריך באופן זה הן: ישנה תנועה בעולם. וכן: ישנו ריבוי בעולם. היסטוריון המתמטיקה סזאבו סבור כי כבר בשירו של פארמנידס ניכר מבנה הרדוקציה אד אבסורדום. פארמנידס מניח כי ישנו אין (שהוא מזהה עם חלל ריק) ומוכיח כי מדובר בסתירה עצמית. כך הוא מוכיח כי אין בעולם ריק, לכן העולם מלא, ומכאן שהתנועה בו אינה אפשרית.

הוכחת טענה בדרך השלילה נפוצה בוויכוחים לשם השגת ניצחון על היריב הרעיוני. עם זאת, היא יכולה לשמש כדרך לבירור האמת, שכן ניתן להצביע בה על כשלים רעיוניים בדברי הדובר השני, כפי שתראנה שתי הדוגמאות הבאות:

אבי: עליך לכבד את דעותיו של גדי, שכן לכל הדעות אותה תקפות ולא ניתן להכחישן.
בני: מה עם דעותיו של דוד? (כאשר דוד מחזיק בדעה שיש קונצנזוס על אי נכונותה בדיון).
אבי: אני מסכים שניתן להכחיש את דעתו של דוד.
בני: אם ניתן להכחיש את דעותיו של דוד, זה לא נכון שלא ניתן להכחיש אף דעה. על כן, אני יכול להכחיש את דעותיו של גדי עם נימוקים מספיקים.

דוגמה יותר חזקה, שלא נזקקת לדבריו של דוד, היא זו:

אבי: עליך לכבד את דעותיו של גדי, שכן לכל הדעות אותה תקפות ולא ניתן להכחישן.
בני:
  1. אני מכחיש דעתך וטוען שהיא שגויה.
  2. לפי הטיעון שלך, לדעה זו (1) אותה תקפות כמו כל שאר הדעות.
  3. מצד שני, הדעה שלך גם נוגדת וסותרת את (1), שכן היא ההפך הגמור ממנה.
  4. מסקנות (2) ו (3) סותרות זו את זו, ולכן ההנחה הבסיסית שלך שגויה ופסולה.

בחשיבה התלמודית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתלמוד מופיעה לעתים קרובות הוכחה על דרך השלילה. כך לדוגמה בתלמוד בבלי, מסכת שבת, דף כ"א, עמוד ב', מובאת דעה המוכיחה שמצווה להדליק נר חנוכה מתחת לעשרה טפחים (כמטר), על ידי קבלת ההנחה, באופן זמני ולצורך העניין, שההפך נכון (שאין להגביל את גובה נר חנוכה ל-10 טפחים), ומוכיחה שאם נניח כך יש לזה סתירה ממשנה‏[1] מפורשת.

גם בשאר הספרות היהודית נעשה שימוש בהוכחות בדרך השלילה. כך למשל בספר "משנה תורה"‏[2] מביא הרמב"ם הוכחה לקיום הבחירה החופשית: אילו לא הייתה בחירה חופשית, לא היה טעם בתורה, ולא הייתה הצדקה לשכר ועונש.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ משנה, מסכת בבא קמא, פרק ו', משנה ו'. במשנה זאת נאמר שאם אדם רוכב על גמל טעון פשתן שנדלק מנר חנוכה, אין מניח הנר חייב לפצותו. הוכחת הגמרא היא בכך שאילו היה אפשר להניח בגובה רב יותר, בעל הגמל היה יכול לטעון שהיה על מניח הנר להניח אותו בגובה רב, ולחייב אותו בתשלום.
  2. ^ משנה תורה לרמב"ם, הלכות תשובה, פרק ה', הלכה ד'