קבוע מילס

קבוע מילס (באנגלית: Mills' constant) הוא קבוע מתמטי, שמוגדר בתור המספר הממשי החיובי הקטן ביותר A שמקיים את התכונה הבאה: לכל n טבעי $\ \lfloor A^{3^{n}}\rfloor$ ראשוני (כאשר $\ \lfloor x\rfloor$ היא פונקציית הערך השלם). הוא נקרא על שם ויליאם מילס, שהוכיח ב-1947 את משפט מילס הקובע כי קבוע כזה קיים. תוצאה מפתיעה לאור ההתנהגות הלא סדורה של סדרת הראשוניים. לא ידוע ערכו של מספר זה, אבל אם מניחים שהשערת רימן נכונה, אז: $A\approx 1.306377883863080690468614492602...$. לא ידוע אם המספר רציונלי או אי-רציונלי.

הכללה של משפט מילס קובעת שלכל $2.106<c$ קיימים אינסוף ערכים $A$ כך ש-$\ \lfloor A^{c^{n}}\rfloor$ תמיד ראשוני, ושאינסוף זה הוא מעוצמת הרצף.

הראשוניים של מילס

המספרים הראשוניים שמתקבלים על ידי הצבת מספר טבעי n בביטוי $\ \lfloor A^{3^{n}}\rfloor$, נקראים הראשוניים של מילס. אם נניח את נכונות השערת רימן, המספרים שיתקבלו הם: 2, 11, 1361, 2521008887 וכן הלאה.

השימוש בקבוע מילס אינו יעיל לשם מציאת ראשוניים גדולים, משום שלשם חישוב חזקות גבוהות שלו יש לדעת את הקבוע בדיוק רב, אולם כדי לחשב את הקבוע נדרשת סדרת ראשוניי מילס עצמה.

משפט מילס

משפט מילס הקובע את הקיום של קבוע מילס מסתמך על משפט של אלברט אינגהם משנת 1937 הקובע שקיים קבוע $K$, כך שלכל זוג ראשוניים עוקבים בסדרת הראשוניים $p_{n},p_{n+1}$ מתקיים $p_{n+1}<p_{n}+Kp_{n}^{5/8}$.

מהמשפט של אינגהם נובע שאם $K^{8}<N$, ו-$p_{n},p_{n+1}$ הראשוניים העוקבים המקיימים $p_{n}<N^{3}<p_{n+1}$, אז מתקיים:

$N^{3}<p_{n+1}<p_{n}+Kp_{n}^{5/8}<N^{3}+KN^{15/8}<N^{3}+N^{1/8}N^{15/8}=N^{3}+N^{2}<(N+1)^{3}-1$

כלומר לכל $K^{8}<N$ קיים ראשוני $p$ כך ש-$N^{3}<p<(N+1)^{3}-1$.

כעת בונים סדרה של ראשוניים $\{q_{n}\}$ באופן רקורסיבי: בוחרים ראשוני $K^{8}<q_{0}$ להיות האיבר הראשון. ומגדירים את $q_{n+1}$ כראשוני המקיים $q_{n}^{3}<q_{n+1}<(q_{n}+1)^{3}-1$. נקבל סדרה עולה של ראשוניים $q_{0},q_{1},q_{2},\ldots$. נגדיר שתי סדרות חדשות:

$a_{n}={q_{n}}^{3^{-n}},\ b_{n}={(q_{n}+1)}^{3^{-n}}$

קל לראות ש-$a_{n}<b_{n}$, ושמהתנאי $q_{n}^{3}<q_{n+1}<(q_{n}+1)^{3}-1$ נובע ש-$a_{n}$ עולה ו-$b_{n}$ יורדת. $a_{n}$ עולה וחסומה ולכן נוכל להגדיר $A=\lim _{n\to \infty }a_{n}$. A מקיים $a_{n}<A<b_{n}$, כלומר ${q_{n}}^{3^{-n}}<A<{(q_{n}+1)}^{3^{-n}}$. העלאת האי-שוויון בחזקת $3^{n}$ נותנת $q_{n}<A^{3^{n}}<q_{n}+1$, ולכן $\ \lfloor A^{3^{n}}\rfloor =q_{n}$ כנדרש.

קישורים חיצוניים

• Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem
• קבוע מילס, באתר MathWorld (באנגלית)