משפט קריין-סמוליאן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה פונקציונלית, משפט קריין-סמוליאן הוא משפט הנותן תנאי הכרחי ומספיק לקבוצה קמורה במרחב הדואלי להיות סגורה בטופולוגיה החלשה. במובן מסוים ניתן לחשוב על המשפט בתור המשפט ההפוך למשפט בנך-אלאוגלו. המשפט קרוי על שם המתמטיקאים מרק קריין וויטולד סמוליאן.

ניסוח המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי קבוצה קמורה בטופולוגיה החלשה-* ונגדיר כאשר הוא הכדור ברדיוס r סביב 0 במרחב הדואלי. התנאים הבאים שקולים:

1) A סגורה w*.

2) סגורה w* לכל .

2') קיימת סדרה כך שלכל n, סגורה w*.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

סימונים: נסמן ב את הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב הדואלי וב הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב המקורי. כמו כן נסמן ב את שדה הבסיס.

ראשית נשים לב שממשפט בנך אלאוגלו הוא w* קומפקטי ולכן w* סגורה. כמו כן אם אז. מכאן נקבל שקילות בין 2 ל 2'. באותו אופן ברור ש (1) גורר את (2). הכיוון הקשה הוא .

טענה 1: תכונה (2) אינוורינטית להזזה ולניפוח: אם A מקיימת את (2) אז גם מקיימות את (2).

הוכחה:

ניפוח: לכל מתקיים ש . הואיל וכפל בסקלר הוא הומיאמורפיזם בטפולוגיה החלשה נקבל את הדרוש.

הזזה: נקבע . תהי רשת המתכנסת w* לאיבר . נראה ש . מכיוון ש w* סגורה, מספיק להוכיח ש . מצד שני מאי שוויון המשולש מתקיים ש לכן רשת המתכנסת ל . מההנחה נקבל ש וסיימנו.

טענה 2: אם A מקיימת את תכונה (2) אז A סגורה בטופולוגיה הנורמית.

הוכחה:

תהי . בפרט יש כך ש . מההנחה ולכן ומההנחה .

המשך הוכחת המשפט:

יהי רוצים למצוא סביבה חלשה של כך ש . על ידי טענה 1 ניתן להניח ש . נשתמש בלמה הבאה:

למה: נניח ש אז יש סדרה המקיימת:

1)

2) לכל יש n כך ש .

הוכחת הלמה:

בהינתן קבוצה נגדיר את הקבוצה הפולרית המוחלטת . כיוון ש A סגורה בנורמה, יש כך שלכל x ב A, . על ידי ניפוח ניתן להניח ש ולכן . נקבע ונגדיר ברקורסיה סדרה של קבוצות סופיות לא ריקות המקיימות לכל :

א. .

ב. .

כיוון ש , רואים ש מקיימת את הדרוש. נניח שמצאנו נמצא את . נניח בשלילה שאין כזאת. כיוון שהקבוצות הפולריות המוחלטות סגורות בטופולוגיה החלשה*, נקבל שהקבוצה היא קומפקטית בטופולוגיה החלשה* (היא תת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית לפי משפט בנך אלאוגלו). מההנחה בשלילה נובע שלכל קבוצה סופית מתקיים . מקומפקטיות נקבל ש . יהי בחיתוך הנ"ל. אז . כמו כן לכל מתקיים ש . מכך נקבל ש ואז בסתירה להנחה שבחרנו על . לכן אפשר להמשיך את הבנייה.

כיוון ש סופיות אז בן מנייה ויהי מנייה של הקבוצה. מתנאי א נקבל בבירור שנקבל את (1). כעת יהי . נקבע כך . מתנאי ב נקבל שיש כך ש ולכן יש כך ש וקיבלנו את (2).

הוכחת המשפט: נקבע סדרה כמו בלמה. מ (1) יש כך שמתקיים . נתבונן באופרטור

. ברור ש T ליניארי ומ- (1) נקבל כי . כמו כן ברור ש T רציף כיוון ש . מקמירות A נקבל ש קמורה. תהי . אז B סגורה ומ (2) נקבל ש . ממשפט האן בנך נקבל שיש פונקציונל וכן כך ש . אם נציב b=0 נקבל ש . כיוון ש נקבל שיש סדרה כך ש . מתקיים וכיוון ש X מרחב בנך מקבלים שיש . לכל מתקיים: . לכן נקבל עבור ש . לכן אם נבחר את הסביבה אז היא תהייה הסביבה המבוקשת.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מסקנה שימושית מהמשפט הוא שתת-מרחב סגור בטופולוגיה החלשה* אם ורק אם כדור היחידה שלו סגור במרחב בטופולוגיה החלשה*.

מסקנה נוספת היא שהקמור הסגור של קבוצה קומפקטית בטופולוגיה החלשה* הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה*.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט בנך אלאוגלו

טופולוגיה חלשה

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בונסל פ., הרצאות על כמה משפטי נ"ש של אנליזה פונקציונלית, מכון טטה, 1962.
  • Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5 .
  • Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Part I, Wiley-Interscience .
  • Whitley, R.J. (1967), "An elementary proof of the Eberlein-Smulian theorem", Mathematische Annalen 172 (2): 116–118, doi:10.1007/BF01350091 .

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]