באנליזה פונקציונלית , משפט קריין-סמוליאן הוא משפט הנותן תנאי הכרחי ומספיק לקבוצה קמורה במרחב הדואלי להיות סגורה בטופולוגיה החלשה . במובן מסוים ניתן לחשוב על המשפט בתור המשפט ההפוך למשפט בנך-אלאוגלו . המשפט קרוי על שם המתמטיקאים מארק קריין וויטולד סמוליאן.
תהי
A
⊂
X
∗
{\displaystyle A\subset X^{*}}
קבוצה קמורה בטופולוגיה החלשה-* ונגדיר
A
r
=
A
∩
B
r
∗
{\displaystyle A_{r}=A\cap B_{r}^{*}}
כאשר
B
r
∗
{\displaystyle B_{r}^{*}}
הוא הכדור ברדיוס r סביב 0 במרחב הדואלי. התנאים הבאים שקולים:
1) A סגורה w*.
2)
A
r
{\displaystyle A_{r}}
סגורה w* לכל
r
>
0
{\displaystyle r>0}
.
2') קיימת סדרה
r
n
→
∞
{\displaystyle r_{n}\to \infty }
כך שלכל n,
A
r
n
{\displaystyle A_{r_{n}}}
סגורה w*.
סימונים: נסמן ב
B
r
∗
{\displaystyle B_{r}^{*}}
את הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב הדואלי וב
B
r
{\displaystyle B_{r}}
הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב המקורי. כמו כן נסמן ב
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
את שדה הבסיס.
ראשית נשים לב שממשפט בנך אלאוגלו
B
r
∗
{\displaystyle B_{r}^{*}}
הוא w* קומפקטי ולכן w* סגורה. כמו כן אם
0
<
s
<
r
{\displaystyle 0<s<r}
אז
A
s
=
A
r
∩
B
s
∗
{\displaystyle A_{s}=A_{r}\cap B_{s}^{*}}
. מכאן נקבל שקילות בין 2 ל 2'. באותו אופן ברור ש (1) גורר את (2). הכיוון הקשה הוא
(
2
)
⇒
(
1
)
{\displaystyle (2)\Rightarrow (1)}
.
טענה 1: תכונה (2) אינוורינטית להזזה ולניפוח: אם A מקיימת את (2) אז גם
A
+
ϕ
,
λ
A
(
λ
>
0
,
ϕ
∈
X
∗
)
{\displaystyle A+\phi ,\lambda A(\lambda >0,\phi \in X^{*})}
מקיימות את (2).
הוכחה:
ניפוח: לכל
λ
,
r
>
0
{\displaystyle \lambda ,r>0}
מתקיים ש
(
λ
A
)
r
=
λ
A
r
/
λ
{\displaystyle (\lambda A)_{r}=\lambda A_{r/\lambda }}
. הואיל וכפל בסקלר הוא הומיאמורפיזם בטפולוגיה החלשה נקבל את הדרוש.
הזזה: נקבע
r
>
0
,
ϕ
∈
X
∗
{\displaystyle r>0,\phi \in X^{*}}
. תהי
{
ψ
λ
}
λ
∈
Λ
⊂
(
A
+
ϕ
)
r
{\displaystyle \{\psi _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\subset (A+\phi )_{r}}
רשת המתכנסת w* לאיבר
ψ
∈
X
∗
{\displaystyle \psi \in X^{*}}
. נראה ש
ψ
∈
(
A
+
ϕ
)
r
{\displaystyle \psi \in (A+\phi )_{r}}
. מכיוון ש
B
r
∗
{\displaystyle B_{r}^{*}}
w* סגורה, מספיק להוכיח ש
ψ
∈
A
+
ϕ
{\displaystyle \psi \in A+\phi }
. מצד שני מאי שוויון המשולש מתקיים ש
|
|
ψ
λ
−
ϕ
|
|
≤
|
|
ϕ
|
|
+
|
|
ψ
λ
|
|
≤
|
|
ϕ
|
|
+
r
{\displaystyle ||\psi _{\lambda }-\phi ||\leq ||\phi ||+||\psi _{\lambda }||\leq ||\phi ||+r}
לכן
{
ψ
λ
−
ϕ
}
λ
∈
Λ
⊂
(
A
)
r
+
|
|
ϕ
|
|
{\displaystyle \{\psi _{\lambda }-\phi \}_{\lambda \in \Lambda }\subset (A)_{r+||\phi ||}}
רשת המתכנסת ל
ψ
−
ϕ
{\displaystyle \psi -\phi }
. מההנחה נקבל ש
ψ
−
ϕ
∈
A
⇒
ψ
∈
A
+
ϕ
{\displaystyle \psi -\phi \in A\Rightarrow \psi \in A+\phi }
וסיימנו.
טענה 2: אם A מקיימת את תכונה (2) אז A סגורה בטופולוגיה הנורמית.
הוכחה:
תהי
ϕ
n
→
ϕ
,
ϕ
n
∈
A
{\displaystyle \phi _{n}\to \phi ,\phi _{n}\in A}
. בפרט יש
r
>
0
{\displaystyle r>0}
כך ש
ϕ
n
∈
A
r
{\displaystyle \phi _{n}\in A_{r}}
. מההנחה
ϕ
n
→
ϕ
{\displaystyle \phi _{n}\to \phi }
ולכן
ϕ
n
→
w
ϕ
{\displaystyle \phi _{n}{\overset {\mathrm {w} }{\to }}\phi }
ומההנחה
ϕ
∈
A
r
⊂
A
{\displaystyle \phi \in A_{r}\subset A}
.
המשך הוכחת המשפט:
יהי
ϕ
∈
X
∗
∖
A
{\displaystyle \phi \in X^{*}\setminus A}
רוצים למצוא סביבה חלשה
V
{\displaystyle V}
של
ϕ
{\displaystyle \phi }
כך ש
A
∩
V
=
∅
{\displaystyle A\cap V=\emptyset }
. על ידי טענה 1 ניתן להניח ש
ϕ
=
0
{\displaystyle \phi =0}
. נשתמש בלמה הבאה:
למה: נניח ש
0
∉
A
{\displaystyle 0\not \in A}
אז יש סדרה
x
n
∈
X
{\displaystyle x_{n}\in X}
המקיימת:
1)
x
n
→
0
{\displaystyle x_{n}\to 0}
2) לכל
ϕ
∈
A
{\displaystyle \phi \in A}
יש n כך ש
|
ϕ
(
x
n
)
|
>
1
{\displaystyle |\phi (x_{n})|>1}
.
הוכחת הלמה:
בהינתן קבוצה
M
⊂
X
{\displaystyle M\subset X}
נגדיר את הקבוצה הפולרית המוחלטת
P
(
M
)
=
{
ϕ
∈
X
∗
:
|
ϕ
(
x
)
|
≤
1
∀
x
∈
M
}
{\displaystyle P(M)=\{\phi \in X^{*}:|\phi (x)|\leq 1\forall x\in M\}}
. כיוון ש A סגורה בנורמה, יש
ρ
>
0
{\displaystyle \rho >0}
כך שלכל x ב A,
|
|
x
|
|
≥
ρ
{\displaystyle ||x||\geq \rho }
. על ידי ניפוח ניתן להניח ש
ρ
>
1
{\displaystyle \rho >1}
ולכן
A
1
=
∅
{\displaystyle A_{1}=\emptyset }
. נקבע
F
0
=
{
0
}
{\displaystyle F_{0}=\{0\}}
ונגדיר ברקורסיה סדרה של קבוצות סופיות לא ריקות
F
n
⊂
X
{\displaystyle F_{n}\subset X}
המקיימות לכל
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
:
א.
F
n
⊂
B
1
/
n
{\displaystyle F_{n}\subset B_{1/n}}
.
ב.
A
n
∩
(
∩
i
=
0
n
−
1
P
(
F
i
)
)
=
∅
{\displaystyle A_{n}\cap (\cap _{i=0}^{n-1}P(F_{i}))=\emptyset }
.
כיוון ש
A
1
=
∅
{\displaystyle A_{1}=\emptyset }
, רואים ש
F
0
{\displaystyle F_{0}}
מקיימת את הדרוש. נניח שמצאנו
{
F
i
}
i
=
0
N
−
1
{\displaystyle \{F_{i}\}_{i=0}^{N-1}}
נמצא את
F
N
{\displaystyle F_{N}}
. נניח בשלילה שאין כזאת. כיוון שהקבוצות הפולריות המוחלטות סגורות בטופולוגיה החלשה*, נקבל שהקבוצה
K
=
A
N
+
1
∩
(
∩
i
=
0
N
−
1
P
(
F
i
)
)
⊂
B
N
+
1
∗
{\displaystyle K=A_{N+1}\cap (\cap _{i=0}^{N-1}P(F_{i}))\subset B_{N+1}^{*}}
היא קומפקטית בטופולוגיה החלשה* (היא תת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית לפי משפט בנך אלאוגלו). מההנחה בשלילה נובע שלכל קבוצה סופית
G
⊂
B
1
/
N
{\displaystyle G\subset B_{1/N}}
מתקיים
K
∩
P
(
G
)
≠
∅
{\displaystyle K\cap P(G)\not =\emptyset }
. מקומפקטיות נקבל ש
∩
G
⊂
B
1
/
N
,
|
G
|
<
∞
(
K
∩
P
(
G
)
)
≠
∅
{\displaystyle \cap _{G\subset B_{1/N},|G|<\infty }(K\cap P(G))\not =\emptyset }
. יהי
ϕ
{\displaystyle \phi }
בחיתוך הנ"ל. אז
ϕ
∈
K
{\displaystyle \phi \in K}
. כמו כן לכל
x
∈
X
,
|
|
x
|
|
<
1
/
N
{\displaystyle x\in X,||x||<1/N}
מתקיים ש
|
ϕ
(
x
)
|
≤
1
{\displaystyle |\phi (x)|\leq 1}
. מכך נקבל ש
|
|
ϕ
|
|
≤
N
{\displaystyle ||\phi ||\leq N}
ואז
ϕ
∈
K
∩
B
N
∗
=
A
N
∩
(
∩
i
=
0
N
−
1
P
(
F
i
)
)
{\displaystyle \phi \in K\cap B_{N}^{*}=A_{N}\cap (\cap _{i=0}^{N-1}P(F_{i}))}
בסתירה להנחה שבחרנו על
{
F
i
}
i
=
0
N
−
1
{\displaystyle \{F_{i}\}_{i=0}^{N-1}}
. לכן אפשר להמשיך את הבנייה.
כיוון ש
{
F
i
}
i
=
0
∞
{\displaystyle \{F_{i}\}_{i=0}^{\infty }}
סופיות אז
∪
i
=
0
∞
F
i
{\displaystyle \cup _{i=0}^{\infty }F_{i}}
בן מנייה ויהי
{
x
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\}}
מנייה של הקבוצה. מתנאי א נקבל בבירור שנקבל את (1). כעת יהי
ϕ
∈
A
{\displaystyle \phi \in A}
. נקבע
N
{\displaystyle N}
כך
|
|
ϕ
|
|
≤
N
+
1
{\displaystyle ||\phi ||\leq N+1}
. מתנאי ב נקבל שיש
j
≤
N
{\displaystyle j\leq N}
כך ש
ϕ
∉
P
(
F
j
)
{\displaystyle \phi \not \in P(F_{j})}
ולכן יש
x
n
∈
F
j
{\displaystyle x_{n}\in F_{j}}
כך ש
|
ϕ
(
x
n
)
|
>
1
{\displaystyle |\phi (x_{n})|>1}
וקיבלנו את (2).
הוכחת המשפט: נקבע סדרה
x
n
∈
X
{\displaystyle x_{n}\in X}
כמו בלמה. מ (1) יש
r
>
0
{\displaystyle r>0}
כך שמתקיים
|
|
x
n
|
|
≤
r
{\displaystyle ||x_{n}||\leq r}
. נתבונן באופרטור
T
:
X
∗
→
K
N
,
T
(
ϕ
)
=
{
ϕ
(
x
n
)
}
n
=
1
∞
{\displaystyle T:X^{*}\to \mathbb {K} ^{\mathbb {N} },T(\phi )=\{\phi (x_{n})\}_{n=1}^{\infty }}
. ברור ש T ליניארי ומ- (1) נקבל כי
R
a
n
g
e
(
T
)
⊂
c
0
{\displaystyle Range(T)\subset c_{0}}
. כמו כן ברור ש T רציף כיוון ש
|
|
T
(
ϕ
)
n
|
|
=
|
|
ϕ
(
x
n
)
|
|
≤
|
|
ϕ
|
|
|
|
x
n
|
|
≤
|
|
ϕ
|
|
r
{\displaystyle ||T(\phi )_{n}||=||\phi (x_{n})||\leq ||\phi ||||x_{n}||\leq ||\phi ||r}
. מקמירות A נקבל ש
T
(
A
)
{\displaystyle T(A)}
קמורה. תהי
B
=
{
b
∈
c
0
:
|
|
b
|
|
∞
<
1
}
{\displaystyle B=\{b\in c_{0}:||b||_{\infty }<1\}}
. אז B סגורה ומ (2) נקבל ש
T
(
A
)
∩
B
=
∅
{\displaystyle T(A)\cap B=\emptyset }
. ממשפט האן בנך נקבל שיש פונקציונל
η
∈
(
c
0
)
∗
{\displaystyle \eta \in (c_{0})^{*}}
וכן
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
כך ש
ℜ
(
η
(
a
)
)
≥
α
>
ℜ
(
η
(
b
)
)
,
∀
a
∈
T
(
A
)
,
b
∈
B
{\displaystyle \Re (\eta (a))\geq \alpha >\Re (\eta (b)),\forall a\in T(A),b\in B}
. אם נציב b=0 נקבל ש
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
. כיוון ש
(
c
0
)
∗
≅
l
1
{\displaystyle (c_{0})^{*}\cong l_{1}}
נקבל שיש סדרה
t
=
(
t
n
)
∈
l
1
{\displaystyle t=(t_{n})\in l_{1}}
כך ש
η
(
y
)
=
∑
i
=
1
∞
t
i
y
i
{\displaystyle \eta (y)=\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}y_{i}}
. מתקיים
|
|
t
n
x
n
|
|
=
|
t
n
|
|
|
x
n
|
|
≤
|
t
n
|
r
⇒
∑
i
=
1
∞
|
|
t
n
x
n
|
|
≤
r
∑
i
=
1
∞
|
t
n
|
<
∞
{\displaystyle ||t_{n}x_{n}||=|t_{n}|||x_{n}||\leq |t_{n}|r\Rightarrow \sum _{i=1}^{\infty }||t_{n}x_{n}||\leq r\sum _{i=1}^{\infty }|t_{n}|<\infty }
וכיוון ש X מרחב בנך מקבלים שיש
x
=
∑
i
=
1
∞
t
n
x
n
{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{\infty }t_{n}x_{n}}
. לכל
ϕ
∈
X
∗
{\displaystyle \phi \in X^{*}}
מתקיים:
η
(
T
(
ϕ
)
)
=
∑
i
=
1
∞
t
i
T
(
ϕ
)
n
=
∑
i
=
1
∞
t
i
ϕ
(
x
n
)
=
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \eta (T(\phi ))=\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}T(\phi )_{n}=\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\phi (x_{n})=\phi (x)}
. לכן נקבל עבור
ϕ
∈
A
{\displaystyle \phi \in A}
ש
ℜ
(
ϕ
(
x
)
)
≥
α
{\displaystyle \Re (\phi (x))\geq \alpha }
. לכן אם נבחר את הסביבה
V
=
{
ϕ
∈
X
∗
|
ℜ
(
ϕ
)
<
α
}
{\displaystyle V=\{\phi \in X^{*}|\Re (\phi )<\alpha \}}
אז היא תהייה הסביבה המבוקשת.
מסקנה שימושית מהמשפט הוא שתת-מרחב סגור בטופולוגיה החלשה* אם ורק אם כדור היחידה שלו סגור במרחב בטופולוגיה החלשה*.
מסקנה נוספת היא שהקמור הסגור של קבוצה קומפקטית בטופולוגיה החלשה* הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה*.
משפט בנך אלאוגלו
טופולוגיה חלשה
בונסל פ., הרצאות על כמה משפטי נ"ש של אנליזה פונקציונלית, מכון טטה, 1962.
Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5 .
Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Part I , Wiley-Interscience .
Whitley, R.J. (1967), "An elementary proof of the Eberlein-Smulian theorem", Mathematische Annalen , 172 (2): 116–118, doi :10.1007/BF01350091 .