משפט האן-בנך

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד באופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.

המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי מרחב בנך מעל השדה (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב , ופונקציה תת-לינארית (פונקציה זו מכונה לעתים מז'ורנטה).
אזי כל פונקציונל לינארי החסום על ידי (כלומר: לכל ) אפשר להרחיב לפונקציונל שגם הוא חסום באותו אופן.

כלומר:

  1. (כלומר: הוא אכן הרחבה של ).
  2. (כלומר: חסום גם כן על ידי ).

מסקנות ושימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • קיום הרחבה שומרת נורמה:
אם הוא מרחב בנך ו- הוא תת-מרחב שלו, ואם הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על , אזי קיימת לו הרחבה רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: . זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר: , ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-לינארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך, הוא אובייקט אינג'קטיבי.
  • משפט ההפרדה בין נקודות:
.
בפרט, אם נגדיר עבור אזי נקבל שקיים פונקציונל כך ש . כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.
  • משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה:
יהי מרחב בנך ויהי הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי נקודה שאיננה בסגור של , אזי קיים פונקציונל רציף (חסום) כך ש:
  1. ,
  2. ומתקיים ש

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של החסומות על ידי לתת-מרחב כלשהו עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב- שמהווה הרחבה של המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל .

עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב- מוגדרת על תת-מרחב , כאשר . אזי קיים ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי , המוגדרת על ידי:

כאשר פירוק יחיד של כאשר ו- הוא ההרחבה המקסימלית על (והם איברי המשפחה ). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך כך שלכל בתחום ההגדרה יתקיים . באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-לינארית אפשר להראות שקיים כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל- מ- לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-.

מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של , וניתן לראות בקלות שגם היא ב-, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.

לכן, האיבר המקסימלי של מוגדר היטב על כל ומהווה הרחבה של המקיימת את הנדרש.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]