טופולוגיה חלשה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

טופולוגיה חלשה היא טופולוגיה שבה ה"מרחק" או ה"סביבות" מוגדרות באמצעות קבוצה של פונקציות רציפות על המרחב. נהוג להשתמש במונח זה כאשר מגדירים טופולוגיה שכזו על מרחב מטרי (ובפרט, מרחב בנך) שעליו קיימת כבר הטופולוגיה המטרית/הנורמית - שהיא טופולוגיה חזקה יותר.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי X מרחב נורמי ותהי \ F \subset C(X) משפחה של פונקציות רציפות על X.

הטופולוגיה החלשה \ w(F) המתאימה ל-F היא הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר: עם אוסף הקבוצות הפתוחות הקטן ביותר האפשרי) שביחס אליה כל הפונקציות של F הן רציפות. את הטופולוגיה החלשה אפשר לתאר באמצעות הבסיס הבא:

\ U \left( x_0 , A , \varepsilon \right) = \left\{ x \in X \ \ | \ \ \forall f \in A \ : \ | f(x_0) - f(x) | < \varepsilon \right\}

כאשר עוברים על כל הנקודות \ x_0 \in X, על כל משפחת פונקציות סופית \ A \subset F ועל כל \,\varepsilon > 0. כלומר,

\ \mathbb{B} = \{U \left( x_0 , A , \varepsilon \right) | A \subset F,\,  \varepsilon > 0, x_0 \in X\} הוא בסיס לטופולוגיה החלשה המתאימה ל-F.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]