משפט קרנו (גאומטריה)

בגאומטריה אוקלידית, משפט קרנו קובע שסכום המרחקים של צלעות משולש שרירותי ABC ממרכז המעגל החוסם אותו D הוא:

DF+DG+DH=R+r,\

כאשר r הוא רדיוס המעגל החסום במשולש ו-R הוא רדיוס המעגל החוסם אותו. בנוסחה זאת סימן המרחקים נלקח כשלילי אם ורק אם הקטע DX (X = F, G, H) נח כולו מחוץ למשולש. באיור, DF שלילי בעוד ש-DG ו-DH חיוביים.

המשפט נקרא על שם המתמטיקאי והמדינאי הצרפתי לזאר קרנו (1753–1823), ונעשה בו שימוש להוכחת המשפט היפני למצולעים ציקליים.

הוכחה

נתייחס למשולש חד זווית ABC, כך שמרכז המעגל החוסם D נמצא בתוך המשולש וכל המרחקים חיוביים. נגדיר $AB=a,BC=b,CA=c$ , וכן נסמן ב- $x,y,z$ את אורכי האנכים המורדים ממרכז המעגל החוסם לצלעות המשולש, כלומר את $DF,DG,DH$ , בהתאמה. בכל אחד מהמרובעים $DFAG,DGBH,DHCF$ סכום זוויות מנוגדות הוא 180 מעלות, ולכן כולם מרובעים ציקליים, מה שמאפשר יישום של משפט תלמי, התקף למרובעים אלו:

DF\cdot AG+DG\cdot AF=DA\cdot FG

DG\cdot BH+DH\cdot BG=DB\cdot GH

DH\cdot CF+DF\cdot HC=DC\cdot HF

מכיוון ששלושת האנכים ממרכז המעגל החוסם לצלעות המשולש הם גם אנכים אמצעיים, אחד משני האלכסונים בכל מרובע ציקלי כזה הוא קטע אמצעים במשולש ABC ומכאן שווה למחצית צלע מתאימה של המשולש, ולכן ניתן לכתוב מחדש את שלוש המשוואות בעזרת הסימון המקוצר הזה:

x{\frac {a}{2}}+y{\frac {c}{2}}=R{\frac {b}{2}}

y{\frac {b}{2}}+z{\frac {a}{2}}=R{\frac {c}{2}}

z{\frac {c}{2}}+x{\frac {b}{2}}=R{\frac {a}{2}}

אם נחבר את כל המשוואות נקבל:

x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=R(a+b+c)\implies x(2s-c)+y(2s-a)+z(2s-b)=2sR

כאשר הגדרנו כאן $s={\frac {a+b+c}{2}}$ (מחצית היקף המשולש ABC). מכאן נקבל:

2s(x+y+z)-(cx+ay+bz)=2sR\implies 2s(x+y+z)-2[\triangle ABC]=2sR\implies 2s(x+y+z)-2sr=2sR\implies x+y+z=R+r

כנדרש.

במקרה שאחת מזוויות המשולש קהה ומרכז המעגל החוסם מצוי מחוץ למשולש, אז יש לערוך שינויים קלים בטיעון. במקרה זה, שניים מהמרובעים אינם מוכלים כולם במשולש ABC; ניתן להראות שבמקרה זה שני המרובעים הללו עדיין ציקליים, אך שני האלכסונים שלהם יסומנו כמו שתיים מהצלעות שלהם במקרה הקודם שבו המרובעים היו בתוך המשולש - כך למשל, במרובע DFHC שבאיור לעיל הצלע HF מסומנת כמו האלכסון HF במקרה החד-זווית; כלומר כאשר מזיזים את קודקודי המשולש לאורך המעגל החוסם, אז במעבר של מרכז המעגל החוסם מפנים המשולש לחלקו החיצוני האלכסונים וחלק מהצלעות "מתחלפים". כתוצאה מכך, בתחילת הטיעון יופיעו שלוש משוואות זהות למעט סימן שלילי של x, בעוד שבסוף הטיעון נקבל ש- $ay+bz-cx=2[\triangle ABC]$ , זאת משום שכעת יש לחסר את שטח משולש ADC כדי לקבל את שטח משולש ABC; שינויים אלו מביאים לכך שבמקרה הקהה זווית התוצאה המתקבלת היא:

y+z-x=R+r

.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט קרנו בוויקישיתוף

Carnot's Theorem באתר cut-the-knot.
Carnot's Theorem The Wolfram Demonstrations Project
משפט קרנו, באתר MathWorld (באנגלית)