מעגל חוסם

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מעגל חוסם של מתומן

בגאומטריה של המישור, מעגל חוסם של מצולע הוא מעגל העובר דרך כל הקודקודים של המצולע. בין המצולעים שיש להם מעגל חוסם: כל המשולשים, כל המלבנים, וכל המצולעים המשוכללים. מצולע שיש לו מעגל חוסם נקרא מצולע ציקלי.

המעגל החוסם של משולש[עריכת קוד מקור | עריכה]

בניית המעגל החוסם באמצעות מחוגה וסרגל

במשולש, מרכז המעגל החוסם הוא הנקודה שבה נפגשים שלושת האנכים האמצעיים של הצלעות. הסיבה לכך היא שאנך האמצעים הוא המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקיהן מקצות הקטע שווים זה לזה, ומרחקו של המרכז מן הקודקודים, העומדים בקצותיה של כל צלע, הוא קבוע.

מיקומו של מרכז המעגל החוסם במשולש תלוי בסוג המשולש. במשולש חד-זווית המרכז בתוך המשולש, במשולש ישר-זווית המרכז נמצא באמצע היתר (זהו אחד הנוסחים של משפט תלס), ובמשולש קהה-זווית המרכז מחוץ למשולש.

מרכז המעגל החוסם של משולש נמצא על קו ישר אחד עם מפגש התיכונים ועם מפגש הגבהים; הישר המחבר את הנקודות נקרא ישר אוילר.

שלוש נקודות הנמצאות על ישר אחד אינן יוצרות משולש במובן המקובל של המילה, אבל אפשר להתייחס לישר המונח עליהן כאילו היה המעגל החוסם - "מעגל ברדיוס אינסופי". נקודות הקרובות למצב כזה עשויות לגרום לאי-יציבות בחישוב המעגל החוסם.

משפט אוילר, הקרוי של שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק d בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: d^2 = R\cdot(R - 2r), כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם ו- r הוא רדיוס המעגל החסום. מנוסחה זו נובע כי: R\ge 2r .


הזוויות בין הישר המשיק למעגל החוסם, בקודקוד A, לבין צלעות המשולש, שוות לזוויות B ו- C.

ישר סימסון (באדום) העובר דרך נקודות ההיטל של נקודה הנמצאת על המעגל החוסם (בכחול), על צלעות המשולש (בשחור)

נקודה P נמצאת על המעגל החוסם אם ורק אם שלושת ההיטלים שלה על צלעות המשולש או המשכיהן נמצאים על ישר אחד. ישרים אלו, שהתגלו על ידי William Wallach ב-1797, קרויים בטעות ישרי סימסון, על-שם Robert Simson, ‏1687-1768‏[1].

הקוטר והמרכז של המעגל החוסם[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט הסינוסים קובע שעבור כל אחת ואחת מן הצלעות, הקוטר \ 2R של המעגל החוסם שווה לאורך הצלע, מחולק בסינוס הזווית שמולה. ממשפט זה נובע ש-\ 4RS = abc כאשר S שטח המשולש ו-a,b,c הצלעות שלו. קוטרו של מעגל פיירבך הוא מחצית מזה של המעגל החוסם. את רדיוס המעגל החוסם אפשר לחשב ישירות מאורכי הצלעות a, b ו- c, לפי הנוסחה \ R = \frac{abc}{4S}, כאשר \ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-b)} הוא שטח המעגל (לפי נוסחת הרון), ו-\ s = \frac{a+b+c}{2} חצי ההיקף.

בקואורדינטות קרטזיות, המעגל החוסם של משולש שקודקודיו בנקודות \mathbf{A} = (A_x,A_y), \mathbf{B} = (B_x,B_y) ו- \mathbf{C} = (C_x,C_y) הוא האוסף של נקודות \ v=(v_x,v_y) המקיימות את המשוואות |\mathbf{v}-\mathbf{u}|^2 - r^2 = 0, |\mathbf{A}-\mathbf{u}|^2 - r^2 = 0 ו- |\mathbf{B}-\mathbf{u}|^2 - r^2 = 0 ו- |\mathbf{C}-\mathbf{u}|^2 - r^2 = 0, שמהן נובע גם ש- \mathbf{u} הוא מרכז המעגל החוסם. כשהופכים את המשוואות למערכת המשוואות הלינארית, מתברר שהן שקולות לכך שלמטריצה הריבועית \begin{vmatrix}
|\mathbf{v}|^2 & -2v_x & -2v_y & -1 \\
|\mathbf{A}|^2 & -2A_x & -2A_y & -1 \\
|\mathbf{B}|^2 & -2B_x & -2B_y & -1 \\
|\mathbf{C}|^2 & -2C_x & -2C_y & -1
\end{vmatrix} תהיה דטרמיננטה אפס. מנוסחת קרמר מתקבל הפתרון \quad
S_x=\frac{1}{2}\det\begin{vmatrix}
|\mathbf{A}|^2 & A_y & 1 \\
|\mathbf{B}|^2 & B_y & 1 \\
|\mathbf{C}|^2 & C_y & 1
\end{vmatrix},\quad
S_y=\frac{1}{2}\det\begin{vmatrix}
A_x & |\mathbf{A}|^2 & 1 \\
B_x & |\mathbf{B}|^2 & 1 \\
C_x & |\mathbf{C}|^2 & 1
\end{vmatrix},, a=\det\begin{vmatrix}
A_x & A_y & 1 \\
B_x & B_y & 1 \\
C_x & C_y & 1
\end{vmatrix},\quad
b=\det\begin{vmatrix}
A_x & A_y & |\mathbf{A}|^2 \\
B_x & B_y & |\mathbf{B}|^2 \\
C_x & C_y & |\mathbf{C}|^2
\end{vmatrix}, ואז מתקבל המרכז \ S/a ורדיוס המעגל \ \sqrt{ab+|S|^2}/a. חישוב דומה מוביל לנוסחאות הכדור החוסם של ארבעון.

בקואורדינטות בריצנטריות, המעגל החוסם הוא אוסף הנקודות \ x:y:z המקיימות \ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 0. מרכז המעגל בקואורדינטות אלה הוא \ a^2(-a^2 + b^2 + c^2)  :  b^2(a^2 - b^2 + c^2) : c^2(a^2 + b^2 - c^2).

מעגל חוסם של מרובע[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מרובע ציקלי

מרובע הוא ציקלי (כלומר, יש לו מעגל חוסם), אם ורק אם הסכום של כל זוג זוויות נגדיות הוא 180 מעלות.

מעגל עוטף מינימלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

לא לכל מצולע יש מעגל חוסם, שהרי הקודקודים אינם חייבים להיות מונחים על מעגל אחד. עם זאת, לכל מצולע יש מעגל עוטף מינימלי, שהוא המעגל הקטן ביותר הכולל בתוכו את המצולע (לבניית המעגל העוטף המינימלי יש אלגוריתם לינארי). המעגל החוסם עשוי להיות גדול מן המעגל העוטף המינימלי, למשל עבור משולש קהה זווית, שקוטר המעגל העוטף המינימלי שלו שווה לצלע הגדולה של המשולש.

מעגל חוסם במצולע משוכלל[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעגל חוסם ומעגל חסום במשובע משוכלל

במצולע משוכלל, מרכז המעגל החוסם מתלכד עם מרכז המעגל החסום.

נסמן:

n - מספר הצלעות של המצולע המשוכלל
t - אורך הצלע במצולע המשוכלל
R - רדיוס המעגל החוסם
r - רדיוס המעגל החסום.

מתקיים:

\ t = 2r \tan \frac \pi n = 2R \sin \frac \pi n
\ r = \frac 1 2 t \cot  \frac \pi n = R \cos \frac \pi n
\ R =  \frac 1 2 t \csc \frac \pi n = r \sec \frac \pi n

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Geometry Revisited, Coxeter and Greitzer; סעיף 2.5