משתמש:מכה המומחים/טיוטה

http://www.sdarot.pm/watch/692-100-%D7%91%D7%AA%D7%A0%D7%9A-100-betanach/season/1/episode/5

שם:acg777acg777 סיסמא:acg7acg7 זכר שם פרטי שבע שם משפחה שבע תאריך לידה 7 יולי 1987 acg777acg777@gmail.com סיסמה לפייסבוק פדבנקפדבנק הורדה מיוטיוב http://www.clipconverter.cc/

http://www.clipconverter.cc/

התחלתי מחדש וזה האימייל acgacgacgacgacgaqcgacg@gmail.com והסיסמא acg7acg7 והשם acg acg

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת החבורות, הקרקטר של הצגת חבורה הוא פונקציה מהחבורה שמתאימה לכל איבר בה את העקבה של המטריצה המתאימה. הקרקטר מציג את המידע הנחוץ על ההצגה בצורה יותר מרוכזת. גאורג פרובניוס פיתח את תורת ההצגות של חבורות סופיות באופן שמבוסס לגמרי על הקרקטרים בלי להכנס לשום בניה מפורשת של מטריצות ההצגה. זה אפשרי כיון שהצגה מרוכבת של חבורה סופית מוגדרת [עד כדי איזומורפיזם] על ידי הקרקטר. בהצגות על שדה ממאפיין חיובי, המכונות הצגות מודולריות, המצב יותר מסובך, אבל גם שם פיתח ריצ'רד בראור תורת קרקטרים מתאימה. הרבה משפטים עמוקים על המבנה של חבורות סופיות משתמשים בקרקטרים של הצגות מודולריות.~~~~

https://mail.google.com/mail/?pc=carousel-about-en#inbox

שימושים

קרקטרים של הצגות אי-פריקות מקודדים הרבה תכונות חשובות של חבורה וכך יכולים לשמש לחקר המבנה שלה. תורת הקרקטרים היא כלי מרכזי במיון החבורות הפשוטות הסופיות. קרוב לחצי מהוכחת משפט פייט-תומפסון כוללת חישובים מסובכים של ערכי קרקטרים. תוצאות קלות יותר, גם הן מרכזיות, המשתמשות בקרקטרים כוללות את משפט בורנסייד, ומשפט של ריצ'רד בראור ומיצ'וי סוזוקי האומר שחבורה סופית פשוטה אינה יכולה להכיל חבורת קוונטריונים מוכללת כתת-חבורת 2- סילו שלה.

הגדרות

יהי $V$ מרחב וקטורי ממימד סופי על שדה $F$ ותהי $\ \rho :G\rightarrow \operatorname {GL} _{n}(F)$ הצגה של חבורה $G$ על $V$. הקרקטר של $\rho$ הוא הפונקציה χ_ρ : G → F הנתונה על ידי

$\chi _{\rho }(g)=\mathrm {Tr} (\rho (g))$

כאשר $G$ היא העקבה.

קרקטר $\chi _{\rho }$נקרא אי-פריק אם ? היא הצגה אי-פריקה. הדרגה של קרקטר ? היא המימד של ?: זה שוה לערך של ?. קרקטר מדרגה 1 נקרא ליניארי. כש? היא סופית ול-? יש מאפיין אפס, הגרעין של הקרקטר ? הוא התת-חבורה הנורמלית: ? שהיא בדיוק הגרעין של ההצגה.

תכונות קרקטר הוא פונקציית מחלקה, דהיינו, יש לו ערך קבוע על כל מחלקת צמידות נתונה. ליתר דיוק, קבוצת הקרקטרים האי-פריקים של חבורה נתונה ? לשדה ? יוצרים בסיס של ה-?-מרחב וקטורי של כל פונקציות המחלקה ?. ל[[הצגות איזומורפיות] יש את אותו קרקטר. על שדה ממאפיין 0 הצגות הן איזומורפיות אם ורק אם יש להן את אותו קרקטר. אם הצגה היא סכום ישר של תת-הצגות הקרקטר שלה הוא סכום הקרקטרים של תת-הצגות אלו. אם מצמצמים קרקטר של חבורה סופית ? לתת חבורה ? התוצאה היא קרקטר של ? כל ערך של קרקטר ? הוא סכום של ? שורשי היחידה ה-?, כאשר ? הוא הדרגה של ההצגה (דהיינו, מימד המרחב הוקטורי המתאים) , ו-? הוא הסדר של ?. בפרט, כאשר ?, כל ערך כזה הוא שלם אלגברי. אם ?, ו-? אי-פריק, אז ? הוא שלם אלגברי לכל ? ב-?. אם ? סגור אלגברית, והמאפיין שלו אינו מחלק של סדר החבורה, אז מספר הקרקטרים האי-פריקים של חבורה שוה למספר מחלקות הצמידות שלה, ודרגותיהם הן מחלקים של סדר החבורה. (וגם של ? אם ?).

תכונות אריתמטיות תהיינה ? ו-? הצגות של ?. מתקיימות המשוואות הבאות: ? ? ? ? ? כאשר ? הוא הסכום הישר, ? היא המכפלה הטנזורית, ? מסמן את הטרנספוזיציה הצמודה של ?, ? היא המכפלה האלטרנטיגית ? ו-? הוא הריבוע הסימטרי המוגדר על ידי ?.

טבלת קרקטרים ראה מאמר הקרקטרים האי-פריקים המרוכבים של חבורה סופית מרכיבים טבלת קרקטרים שמכילה הרבה מידע שימושי על החבורה בצורה קומפקטית. כל שורה מייצגת הצגה אי-פריקה, וכל עמודה מחלקת צמידות של החבורה ובמשבצות שבכל שורה יש את הקרקטרים של ההצגה לפי מחלקות הצמידות המתאימות. מקובל לכתוב בשורה הראשונה את הקרקטר הטריוויאלי (הקרקטר של ההצגה הטריוויאלית), וכך יש בה 1 בכל המשבצות, ואת העמודה הראשונה להניח ל(מחלקת הצמידות של) היחידה וכך יש במשבצותיה את הדרגות של הקרקטרים דהיינו ערכיהם באיבר היחידה. הטבלה תמיד מרובעת, כיון שמספר ההצגות האי-פריקות שוה למספר מחלקות הצמידות.

יחסי אורתוגונליות

ערך מורחב אם קיים

במרחב פונקציות המחלקה שהן בעלות ערכים מרוכבים מחבורה סופית יש מכפלה פנימית טבעית: ?

כאשר ? יש כאן טעות הוא הצמוד המרוכב של ?. הקרקטרים האי-פריקים יוצרים בסיס אורתונורמלי למרחב זה ביחס למכפלה פנימית זו, וזה נותן את יחס האורתונורמליות של שורות טבלת הקרקטרים: ? ול-? איברים ב-? יחס האורתוגונליות לעמודות הוא: ? כשהסכום הוא על כל הקרקטרים האי פריקים ? של ? ו-? מסמן את סדר הממרכז של ?. יחסי האורתוגונליות מועילים בהרבה חישובים, ביניהם: פירוק של קרקטר בלתי ידוע לצירוף ליניארי של קרקטרים אי-פריקים, השלמת טבלת הקרקטרים כשידועים רק חלק מהקרקטרים האי-פריקים, מציאת סדר הממרכז של נציגי מחלקת צמידות בחבורה, ומציאת סדר החבורה עצמה.

קרקטרים מושרים וההדדיות של פרובניוס

בסעיף זה נניח שלקרקטרים יש ערכים מרוכבים. תהי $G$ חבורה סופית ו$G$ תת חבורה. כשנתון קרקטר ? של $G$ יסמן ? את הצמצום שלו ל-$G$. יהי ? קרקטר על $G$. פרדיננד גאורג פרובניוס הראה איך לבנות מ-? קרקטר על כל $G$ בשימוש במה שמכונה ההדדיות של פרובניוס. כיון שהקרקטרים האי-פריקים יוצרים בסיס אורתונורמלי על מרחב פונקציות המחלקה המרוכבות על $G$, ישנה פונקציית מחלקה יחידה ? על $G$ עם התכונה ש:

$\langle \theta ^{G},\chi \rangle _{G}=\langle \theta ,\chi _{H}\rangle _{H}$

לכל קרקטר אי פריק של $G$ (המכפלה הפנימית בשמאל היא לפונקציות מחלקה של $G$, ובימין לאלו של $G$). כיון שצמצום של קרקטר של $G$ לתת חבורה $G$ הוא קרקטר של $G$, הגדרה זו מראה ש-? היא צירוף שלם אי-שלילי של קרקטרים אי-פריקים על $G$, כך שהיא עצמה קרקטר על $G$, והיא מכונה הקרקטר של $G$ המושרה מ-?. הגדרת נוסחת ההדדיות של פרובניוס ניתנת להרחבה לכל פונקציות המחלקה בעלות ערכים מרוכבים.

כשנתונה הצגת מטריצה ? של $G$, פרובניוס נתן אחר כך דרך מפורשת לבנות הצגת מטריצה של $G$, הידועה כהצגה המושרית מ-?, ומסומנת במקביל כ-?. מכך נובע תיאור אלטרנטיבי של הקרקטר המושרה ?. קרקטר מושרה זה מתאפס על כל האיברים של $G$ שאינם צמודים לאיזשהו איבר מ-$G$. ומכיון שהוא פונקציית מחלקה על $G$ די לתאר אותה על איברי $G$. אם נתאר את $G$ כאיחוד זר של קוסטים ימניים של $G$ דהיינו

$G=Ht_{1}\cup \ldots \cup Ht_{n},$

אז, כשנתון איבר ? של $G$ מתקיים:

$\theta ^{G}(h)=\sum _{i\ :\ t_{i}ht_{i}^{-1}\in H}\theta \left(t_{i}ht_{i}^{-1}\right).$.

כיון ש-$V$ הוא פונקציית מחלקה על $G$, ערך זה אינו תלוי בבחירת נציגי הקוסטים. תיאור זה של הקרקטר המושרה מאפשר לפעמים לקבל חישוב מפורש מתוך מידע מועט יחסית בקשר לשיכון של $H$ ב-$G$, והוא שימושי פעמים רבות לחישוב טבלאות קרקטרים מסוימות. כש-$\chi$ הוא הקרקטר הטריוויאלי על $H$ הקרקטר המושרה המתקבל ידוע כקרקטר התמורה על $G$ (על הקוסטים של $H$).