משתמש:Maromn/אינטגרל לא אמיתי

בחשבון אינפיניטסימלי, אינטגרל לא אמיתי (או אינטגרל מוכלל) מהווה הכללה מתמטית של האינטגרל המסויים לקטעים לא סופיים ולפונקציות בלתי-חסומות בקטעים פתוחים או חצי פתוחים. באופן אינטואיטיבי, ברור ששטח של פונקציה לא חסומה או של פונקציה בקטע אינסופי, הוא שטח שמכסה קבוצה לא חסומה ולכן ברור שלא מדובר בשטח המוכר לנו מחיי היומיום, אלא בגבול שמוגדר להיות השטח. אם הגבול הנ"ל קיים, אז האינטגרל מתכנס. אם הגבול הוא ∞ או ∞-, אז הוא מתבדר.

כל ההגדרת שנביא כאן עבור אינטגרלים לא אמתיים בקטעים חצי פתוחים מימין הוא אנלוגי להגדרות עבור קטעים חצי פתוחים משמאל.

אינטגרלים לא אמתיים של פונקציות לא חסומות

ניסוח פורמלי

תהא $f\,$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,b)\,$ ובלתי חסומה שם. אם $f\,$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע $[a,b)\,$ ואם קיים הגבול $\textstyle \lim _{t\to b^{-}}\int _{a}^{t}f(x)dx\,$, אז נאמר כי $f\,$ אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע $[a,b)\,$ והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של $f\,$ בקטע $[a,b)\,$ וסימונו יהיה $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,$. כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה מתכנס. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר.

דוגמא: יהי $a>0\,$. באמצעות שיטות אינטגרציה ניתן להוכיח כי $\int _{0}^{a}{{dx} \over {x^{t}}}$ מתכנס אם ורק אם $t<1\,$. באותו אופן $\int _{0}^{a}{{dx} \over {x^{t}}}$ מתבדר אם ורק אם $t\geq 1\,$.

אינטגרביליות בהחלט

תהא $f\,$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,b)\,$ ובלתי חסומה שם. אם $f\,$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע $[a,b)\,$ ואם האינטגרל $\textstyle \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|dx$ מתכנס, אז נאמר ש-$f\,$ אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx$ מתכנס בהחלט. קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית (במובן המוכלל).

מבחני התכנסות

מבחן ההשוואה

תהיינה $f,g\,$ פונקציות המוגדרת בקטע $[a,b)\,$ ובלתי חסומה שם. אם $f\,$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע $[a,b)\,$ ואם קיימת סביבה ימנית של $b\,$ שבה מתקיים $0\leq f(x)\leq g(x)$ אז:

• אם $\textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx$ מתכנס אז גם $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx$ מתכנס.
• אם $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx$ מתבדר אז גם $\textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx$ מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי

תהיינה $f,g\,$ פונקציות חיוביות המוגדרת בקטע $[a,b)\,$ ובלתי חסומה שם. אם $f\,$ אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע $[a,b)\,$ ואם קיים הגבול $\textstyle \lim _{x\to b^{-}}{{f(x)} \over {g(x)}}$ והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx$ ו- $\textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx$ מתבדרים ומתכנסים יחדיו. במידה והגבול שווה ל-0 אז:

• אם $\textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx$ מתכנס אז גם $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx$ מתכנס.

ואם הגבול הוא אינסוף אז:

• אם $\textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx$ מתבדר אז גם $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx$ מתבדר.

מבחן קושי

תהא $f\,$ פונקציה המוגדרת בקטע $[a,b)\,$ בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע $[a,b)\,$. אז $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx$ מתכנס אם ורק אם לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0\,$ כך שלכל $w>v\,$ ממשיים בקטע $(b-\delta ,b)\,$ מתקיים:

$\left|\int _{v}^{w}f(x)dx\right|<\varepsilon$

אינטגרלים לא אמתיים בקטעים אינסופיים

מבחני התכנסות

מבחן דיריכלה

מבחן דיריכלה מאפשר לבדוק התכנסות של פונקציות גם כאשר הן אינה אין שליליות, וכאן כוחו.

תהיינה $f,g\,$ פונקציות רציפות בקטע $[a,+\infty )\,$. ואם מתקיים:

• $f\,$ מונוטונית יורדת בקטע $[a,+\infty )\,$.
• הפונקציה $\textstyle G(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$ חסומה בקטע $[a,+\infty )\,$.

אז בתנאים אלו האינטגרל $\int _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx$ מתכנס.