קטע ממשי

במתמטיקה, קטע ממשי הוא קבוצת מספרים על הישר הממשי כך שעבור כל שני מספרים בקטע, כל המספרים ביניהם נמצאים גם הם בקטע. קטעים ממשיים משמשים כאבני הבניין שמהם אפשר להרכיב מבנים מתמטיים על מספרים ממשיים. כך למשל, קטעים פתוחים משמשים בסיס לטופולוגיה הסטנדרטית על הישר הממשי. באופן דומה, קטעים כללים משמשים לבניית מידת לבג שבאמצעותה מוגדר אינטגרל לבג על פונקציות ממשיות. לקטעים ממשיים גם פרשנות גאומטרית והם מאפשרים להגדיר את מושג הקטע במובנו הגאומטרי.

סימונים והגדרות בסיסיות

בערך זה נסמן ב-$\mathbb {N}$ את קבוצת המספרים הטבעיים וב-$\mathbb {R}$ קבוצת כל המספרים הממשיים.

בהינתן זוג קבוצות $A$ ו-$B$ אומרים כי $A$ מוכל ב-$B$ אם ורק אם לכל $x\in A$ מתקיים ש-$x\in B$. מסמנים יחס זה ב-$A\subseteq B$. באופן דומה, בהינתן זוג קבוצות $A$ ו-$B$ מסמנים ב-$A\cap B$ את חיתוכן וב-$A\cup B$ את איחודן.

בהינתן קבוצה כלשהי $A$ נסמן ב-${\mathcal {P}}(A)$ את קבוצת החזקה שלה. כמו כן, לכל קבוצת מספרים ממשיים $A$ ומספר ממשי $\alpha \in \mathbb {R}$ מסמנים $\alpha +A:=\{\alpha +a\mid a\in A\}$.

לבסוף, מסמנים ב-$\emptyset$ את הקבוצה הריקה.

הגדרה פורמלית

קבוצה $I\subseteq \mathbb {R}$ תקרא קטע ממשי אם ורק אם לכל $x,y\in I$ כך ש-$x\leq y$ ולכל $x\leq z\leq y$ מתקיים ש-$z\in I$.

הקטע $I$ ייקרא חסום מלמעלה אם ורק אם קיים $M\in \mathbb {R}$ כך שלכל $x\in I$ מתקיים ש-$x\leq M$. באופן דומה, הקטע $I$ ייקרא חסום מלמטה אם ורק אם קיים $m\in \mathbb {R}$ כך שלכל $x\in I$ מתקיים ש-$m\leq x$.

קטע שחסום מלמעלה ומלמטה נקרא קטע סופי. קטע שחסום מלמטה בלבד או מלמעלה בלבד נקרא קרן או קטע חצי אינסופי. קטע שאינו חסום מלמעלה או מלמטה שווה ל-$\mathbb {R}$ כולו.

ניתן להבחין שגם הקבוצה הריקה $\emptyset$ עומדת בתנאים של קטע ממשי באופן ריק, ולכן גם היא נחשבת לקטע.

סוגי קטעים

קטעים סופיים

כאמור לעיל, קטע סופי הוא קטע שחסום מלמעלה או מלמטה. בגלל תכונת השלמות של המספרים הממשיים (אנג), לכל קטע חסום לא ריק יש בהכרח אינפימום וסופרמום, ושניהם יחידים.

בהינתן קטע סופי $I$ עם אינפימום $a$ וסופרמום $b$, $I$ יכול להיות אחד מארבע סוגים:

1. $I$ מכיל גם את $a$ וגם את $b$, כלומר ש-$I=\{x\mid a\leq x\leq b\}$. במקרה זה $I$ נקרא קטע סגור והוא מסומן ב-$[a,b]$
2. $I$ אינו מכיל לא את $a$ ולא את $b$, כלומר ש-$I=\{x\mid a<x<b\}$. במקרה זה $I$ נקרא קטע פתוח והוא מסומן ב-$(a,b)$
3. $I$ מכיל את $a$ אבל לא את $b$, כלומר ש-$I=\{x\mid a\leq x<b\}$. במקרה זה $I$ נקרא קטע חצי-פתוח מלמעלה או קטע פתוח למחצה מלמעלה והוא מסומן ב-$[a,b)$.
4. $I$ מכיל את $b$ אבל לא את $a$, כלומר ש-$I=\{x\mid a<x\leq b\}$. במקרה זה $I$ נקרא קטע חצי-פתוח מלמטה או קטע פתוח למחצה מלמטה והוא מסומן ב-$(a,b]$.

במקרה המנוון שבו $a=b$ מתקבל ש-$I$ הוא יחידון (כלומר, קבוצה בעלת איבר אחד בלבד). יחידון זה נחשב לקטע סגור.

בכל המקרים הללו $a$ ו-$b$ ייקראו קצוות הקטע או נקודות הקצה של הקטע, כאשר $a$ ייקרא הקצה התחתון ו-$b$ ייקרא הקצה העליון.

קטעים אינסופיים

בהינתן קטע $I$ שאינו סופי, ייתכנו חמישה מקרים:

1. $I$ חסום מלמטה ולכן יש לו אינפימום $a$, אך $a$ אינו איבר ב-$I$. במקרה זה $I$ נקרא קרן פתוחה מעלה והוא מסומן ב-$(a,\infty )$.
2. $I$ חסום מלמטה ולכן יש לו אינפימום $a$, ו-$a$ בעצמו איבר ב-$I$. במקרה זה $I$ נקרא קרן סגורה מעלה והוא מסומן ב-$[a,\infty )$.
3. $I$ חסום מלמעלה ולכן יש לו סופרמום $b$, אך $b$ אינו איבר ב-$I$. במקרה זה $I$ נקרא קרן פתוחה מטה והוא מסומן ב-$(-\infty ,b)$.
4. $I$ חסום מלמעלה ולכן יש לו סופרמום $b$, ו-$b$ בעצמו איבר ב-$I$. במקרה זה $I$ נקרא קרן סגורה מטה והוא מסומן ב-$(-\infty ,b]$.

המקרה החמישי הוא המקרה שבו $I$ אינו חסום מלמעלה או מלמטה. במקרה זה ניתן להוכיח כי $I$ הוא הישר הממשי $\mathbb {R}$ כולו.

הוכחה:

יהי $x\in \mathbb {R}$. בגלל ש-$I$ אינו חסום מלמטה, הוא בהכרח לא חסום מלמטה על-ידי $x$ ולכן קיים $a\in I$ כך ש-$a<x$. בנוסף, בגלל ש-$I$ אינו חסום מלמעלה, הוא בהכרח לא חסום מלמעלה על-ידי $x$ ולכן קיים $b\in I$ כך ש-$x<b$. אם כך, $a,b\in I$ ו-$a<x<b$. לכן, מתוקף היותו של $I$ קטע, בהכרח $x\in I$.

הדבר נכון לכל $x\in \mathbb {R}$, ולכן $I=\mathbb {R}$.

מ.ש.ל.

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

• קבוצת כל המספרים החיוביים היא הקרן הפתוחה מעלה $(0,\infty )$.
• קבוצת כל המספרים האי-שליליים היא הקרן הסגורה מעלה $[0,\infty )$.
• קבוצת כל המספרים השליליים היא הקרן הפתוחה מטה $(-\infty ,0)$.
• קבוצת כל המספרים בין 0 ל-1 (כולל) היא קטע היחידה $[0,1]$.
• קבוצת כל המספרים הזוגיים היא לא קטע מכיוון ש-2 ו-4 הם זוגיים, אבל $2\leq 3\leq 4$ ו-3 אינו מספר זוגי.
• קבוצת כל המספרים הרציונליים בין 0 ל-1 (כולל) היא לא קטע ממשי מכיוון ש-$0\leq {\sqrt {0.5}}\leq 1$ אבל ${\sqrt {0.5}}$ הוא לא רציונלי.

תכונות

קטעים כלליים

• לכל משפחה של קטעים $\{I_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ החיתוך $I:=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}{I_{i}}$ הוא קטע.
• לכל קטע $I$ ולכל מספר ממשי $\alpha \in \mathbb {R}$, הקבוצה $\alpha +I$ היא קטע.

קטעים פתוחים

יהי $I$ ו-$J$ קטעים פתוחים. אזי:

• לכל $x\in I$ קיים $\epsilon >0$ כך ש-$(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subseteq I$.
• לכל $x\in I$ קיימים $y,z\in I$ כך ש-$y<x<z$.
• הקבוצה $I\cap J$ היא קטע פתוח.
• אם $I\cap J\neq \emptyset$, אז $I\cup J$ הוא קטע פתוח.
• לכל מספר ממשי $\alpha \in \mathbb {R}$, הקבוצה $\alpha +I$ היא קטע פתוח.

קטעים סגורים

יהי $I$ ו-$J$ קטעים סגורים. אזי:

• כל סדרת נקודות $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subseteq I$ שמהווה סדרת קושי מתכנסת לאיבר ששייך ל-$I$.
• הקבוצה $I\cap J$ היא קטע סגור.
• אם $I\cap J\neq \emptyset$, אז $I\cup J$ הוא קטע סגור.
• לכל משפחה של קטעים סגורים $\{I_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ החיתוך $I:=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}{I_{i}}$ הוא קטע סגור.
• לכל מספר ממשי $\alpha \in \mathbb {R}$, הקבוצה $\alpha +I$ היא קטע סגור.

אורך של קטע

בהינתן קטע סופי $I$ כך ש-$a$ ו-$b$ הם הקצה התחתון והעליון שלו בהתאמה, מגדירים כי האורך של $I$ להיות $\ell (I):=b-a$. במקרה ש-$I$ אינו קטע סופי, מגדירים את האורך של $I$ להיות אינסוף ומסמנים $\ell (I):=\infty$.

ניתן להוכיח כי אם הקטע $I$ מוכל בקטע $J$ אז $\ell (I)\leq \ell (J)$.

תוצאה חשובה ובסיסית הנוגעת לאורכים של קטעים נקראת הלמה של קנטור. לפי למה זו, בהינתן אוסף בן מנייה של קטעים סופיים סגורים $\{I_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ כך ש-$I_{i+1}\subseteq I_{i}$ לכל $i\in \mathbb {N}$ וגבול האורכים של הקטעים שואף ל-$0$, אזי החיתוך של כל הקטעים $\bigcap _{i=1}^{\infty }{I_{i}}$ אינו ריק ומהווה יחידון.

אם $I$ הוא קטע ו-$\alpha \in \mathbb {R}$, אז $\alpha +I$ הוא קטע שאורכו שווה לאורכו של הקטע המקורי $I$, כלומר $\ell (I)=\ell (\alpha +I)$. תכונה זו של שימור האורך להזזות מאפשרת להוכיח שמידת לבג היא למעשה מידת האר לפי החבורה החיבורית $(\mathbb {R} ,+)$ עם הטופולוגיה הסטנדרטית.

שימושים

אנליזה ממשית

רציפות

ערך מורחב – פונקציה רציפה (אנליזה)

בהינתן קטע ממשי $D$, פונקציה ממשית $f\colon D\to \mathbb {R}$ ואיבר $x\in D$ אומרים כי $f$ רציפה ב-$x$ אם ורק אם לכל קטע פתוח $J$ המקיים $f(x)\in J$ קיים קטע פתוח $I\subseteq D$ כך ש-$x\in I$ ו-$f(I)\subseteq J$. הפונקציה תקרא רציפה אם ורק אם היא רציפה לכל $x\in D$.

תכונה חשובה של פונקציות רציפות היא שאם $I\subseteq D$ הוא קטע, גם $f(I)$ הוא קטע. זהו אחד הניסוחים של משפט ערך הביניים.

אינטגרציה לפי רימן

ערך מורחב – אינטגרל רימן

בהינתן זוג מספרים ממשיים $a,b\in \mathbb {R}$ כך ש-$a\leq b$ ופונקציה $f\colon (a,b)\to \mathbb {R}$, רוצים למצוא נוסחה לחישוב השטח שמתחת לגרף הפונקציה.

לצורך כך, אומרים שמשפחת קטעים ${\mathcal {F}}:=\{I_{i}\}_{i=0}^{n}$ היא חלוקה של הקטע $(a,b)$ אם ורק אם האיחוד שלהם שווה ל-$(a,b)$ כולו וכל הקטעים הללו זרים בזוגות. לכל משפחת קטעים כזו מגדירים $\delta ({\mathcal {F}}):=\max\{\ell (I_{i})\mid 0\leq i\leq n\}$. כלומר $\delta ({\mathcal {F}})$ הוא אורכו של הקטע האורך ביותר ב-${\mathcal {F}}$. לבסוף מגדירים:

$S({\mathcal {F,f}}):=\sum _{i=0}^{n}{f(x_{i})\ell (I_{i})}$

כאשר $x_{i}\in I_{i}$ לכל $0\leq i\leq n$.

אינטגרל רימן של $f$ בין $a$ ל-$b$ מוגדר להיות $\lim _{\delta ({\mathcal {F}})\to 0}{S({\mathcal {F}},f)}$ והוא מסומן בתור $\int _{a}^{b}{f(x)dx}$. פונקציה שעבורה אינטגרל זה קיים נקראת פונקציה אינטגרבילית.

מידת לבג

ערך מורחב – מידת לבג

כאמור לעיל, לכל קטע ממשי סופי ניתן להגדיר מושג של אורך ששווה לחיסור בין שתי הקצוות שלו. נשאלת השאלה האם ניתן להכליל את מונח זו לקבוצות כלליות יותר.

ניתן לעשות זאת על-ידי בניית פונקציית מידה שנקראת מידת לבג. לכל קבוצה כללית כלשהי $A\subseteq \mathbb {R}$ מגדירים:

$m^{*}(A):=\inf \left\{\sum _{i=0}^{n}\ell (I_{i})\mid A\subseteq \bigcup _{i=0}^{n}{I_{i}}\right\}$

הפונקציה $m^{*}\colon {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$ נקראת מידה חיצונית. קבוצה $E\subseteq \mathbb {R}$ נקראת מדידה לבג אם ורק אם לכל $X\subseteq \mathbb {R}$ מתקיים ש:

$m^{*}(X)=m^{*}(E\cap X)+m^{*}(E\cap X^{\complement })$

כל הקבוצות המדידות לבג מהוות יחדיו סיגמא-אלגברה. אם מצמצמים את הפונציה $m^{*}$ רק לקבוצות המדידות לפי לבג מקבלים את מידת לבג $m$.

טופולוגיה

בניית הטופולוגיה הסטנדרטית

ערך מורחב – מרחב טופולוגי

אם מסתכלים על $\mathbb {R}$ כמרחב טופולוגי, הקטעים הפתוחים מהצורה $(a,b)$ מהווים בסיס לטופולוגיה הסטנדרטית עליו. כלומר, בהינתן קבוצה פתוחה $U\subseteq \mathbb {R}$ קיימת משפחה של קטעים פתוחים $\{I_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ כך ש-$U=\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}{I_{i}}$. ההפך גם הוא נכון: קבוצה $U\subseteq \mathbb {R}$ היא פתוחה אם ורק אם היא איחוד של קטעים פתוחים. בתוך כך, אפשר להוכיח שהקרניים מהצורה $(a,\infty )$ ו-$(-\infty ,a)$ הן גם קבוצות פתוחות.

באופן שקול, הקטעים הסגורים והקרניים הסגורות ב-$\mathbb {R}$ מהווים קבוצות סגורות לפי הטופולוגיה הסטנדטית.

קבוצות קשירות

ערך מורחב – קבוצה קשירה

בהינתן מרחב טופולוגי $X$ וקבוצה $A\subseteq X$ אומרים כי $A$ היא קבוצה קשירה ב-$X$ אם ורק אם לכל זוג קבוצות פתוחות $U,V\subseteq X$ כך ש-$A\subseteq U\cup V$ בהכרח מתקיים ש-$U\cap V\neq \emptyset$.

ניתן להוכיח שעבור המרחב $\mathbb {R}$ עם הטופולוגיה הסטנדרטית הקטעים (מכל הסוגים) מהווים את אוסף כל תת-הקבוצות הקשירות ב-$\mathbb {R}$. יתרה מכך, ב-$\mathbb {R}$ כל קבוצה קשירה (כלומר, כל קטע) הוא גם קשיר מסילתית.

תכונה חשובה של $\mathbb {R}$ בהקשר זה היא שלמרות שכל קטע $I$ הוא קשיר מסילתית, לכל $x\in I$ הקבוצה $I\setminus \{x\}$ אינה קשירה. כלומר, כל נקודה ב-$I$ נדרשת כדי להפוך אותו לקשיר.

גאומטריה

קטעים גאומטריים

ערך מורחב – קטע (גאומטריה)

אם מחשיבים את $\mathbb {R}$ בתור המרחב האוקלידי החד-ממדי, כל הקטעים הממשיים בו הם הלכה למעשה הקטעים הגאומטריים בו.

יתרה מכך, בהינתן המרחב האוקלידי ה-$n$ ממדי $\mathbb {R} ^{n}$, קבוצה כלשהי $J\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ תחשב לקטע אם ורק אם קיים קטע $I\subseteq \mathbb {R}$ כך ש-$I$ ו-$J$ איזומטריים זה לזה.

קבוצות קמורות

ערך מורחב – קבוצה קמורה

הקטעים מהווים את אוסף תת-הקבוצות הקמורות של הממשיים.

עקומות

ערך מורחב – עקומה

עקומה היא מבנה חד-ממדי רציף בתוך מרחב גאומטרי שנוצר "במשיכת עט אחת". ניתן לייצג עקומה כפונקציה רציפה מקטע ממשי למרחב הגאומטרי.

הכללות

בהכללה, קטע הוא תת קבוצה $\,S$ של קבוצה עם יחס סדר מלא $\,T$, המקיימת שלכל $x,y\in S$ ו-$z\in T$, אם $\,x<z<y$ אזי $z\in S$. במקרה של יחס הסדר על הממשיים ההגדרה שקולה להגדרה הרגילה של קטע.

ראו גם

• קטע (גאומטריה)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קטע ממשי בוויקישיתוף

• הסבר על קטעים - מתוך מילון המונחים בגאומטריה של משרד החינוך.
• קטע ממשי, באתר MathWorld (באנגלית)