משתמש:Tzafrir/אופרטור הזמן (לא ערך)

אופרטור הזמן במכניקת הקוונטים הוא אופרטור המדידה של הזמן. יש הטוענים שהזמן הוא רק פרמטר ואינו קיים בעולם הקוונטי, אבל ניתן לייחס לזמן משמעות של אופרטור היווצרות האנטרופיה (ואופרטור הריסת האנטרופיה הוא האופרטור הצמוד לו).

הגדרה

תהי $\psi$ פונקציית גל כלשהי התלויה בזמן. כדי למדוד את הזמן בו התרחש המאורע עלינו להפעיל את אופרטור הזמן המלוכסן בבסיס היצירה וההריסה: $T\psi =\nabla t\psi$ כאשר $\nabla t$ הוא הדיברגנץ של הזמן השייך לפונקציית הגל הגורם לה לעלות את האנטרופיה של עצמה ושל היקום כולו. מסתבר שהמרחב כולו עשוי מאותם אופרטורים הפועלים על כל חלקיק בהפרשי זמנים של $\hbar$ (עד כדי פאזה). הגדרת הרמיטיות האופרטור היא מקרה מיוחד של הנרמול של דיראק, שכן בכלליות, אופרטור הזמן אינו הרמיטי ורק תחת הנרמול הנ"ל נוכל לקבל תכונה זו.

חורים שחורים

בחורים שחורים אופרטור הזמן $T$ מפסיק להתקיים, ובמקומו פועל $T^{\dagger }$ . במקום שהאנטרופיה גדלה, בחור שחור לא רק שהאנטרופיה קטנה, גם הפעלה של פונקציית הגל בתוך חור השחור נותנת פקטור של $\nabla t^{*}$, משמע, הזמן זז במרחב הצמוד לו (עד כדי פאזה ביחס למרחב הזמן הרגיל). מסתבר שתורה זו משלימה את תורת היחסות של איינשטיין בעניין חורים שחורים ומסבירה את הפיזיקה שעד היום נעלמה מהעין.

שזירה בין יקומים

אופרטור הזמן מאפשר תאורטית לבצע שזירה בין שני יקומים: נניח שני חלקיקים עם פונקציות גל $\psi _{1}$ ו-$\psi _{2}$ ביקומים שונים. כדי לבצע בהם שזירה, עלינו לבצע מדידה של חלקיק בחור השחור על אופק האירועים. בעת המדידה, בחור הלבן ביקום השני מתבצעת שזירה עם חלקיק נוסף. כעת, יש להם ציר זמן משותף ומידת האנטרופיה שלהם תעלה או תרד ביחד.

אופרטור הזמן כיוצר של אנטרופיה בכוכב נייטרונים

כאמור, אופרטור הזמן מיוחס להיווצרותה של אנטרופיה. נניח פונקציית גל $\psi$ אשר תלויה בזמן. מסתבר שכאשר עובדים בתוך כוכב נייטרונים, אופרטור הזמן הוא קוואזיהרמיטי, כלומר בהפרשי זמן קטנים מספיק, כאשר שינוי גודל כוכב הנייטרונים הוא קוואזיסטטי ואיזוברי, אופרטור הזמן הוא הרמיטי. לכן פונקציית הגל יכולה להפרש על המצבים העצמיים של אופרטור הזמן תחת הנחות אלו. מתברר, כי בהצגת המיקום, ובהינתן ההנחות הנ"ל, ניתן להציג את פונקציית הגל כטור של פולינומי צ'ביצ'ב מהסוג הראשון של ${\frac {k_{B}}{\hbar }}Gr$ כפול פונקציות ההרמוניות הספריות, כלומר $\psi =\sum \limits _{l,n=0}^{\infty }\sum \limits _{m=-l}^{l}A_{n}T_{n}\left(\left({\frac {k_{B}}{\hbar }}G{\frac {r}{R}}\right)^{n}\right)Y_{l,m}\left(\theta ,\varphi \right)$, כאשר $R$ רדיוס הכוכב. תחת פרישה זו, ניתן לראות שאנטרופיית המצב הנתון היא למעשה סימטרית להזזות בזוויות מרחביות, וכי מידת שינוי האנטרופיה נתונה על ידי הסדר של היחס בין קבוע בולצמן לקבוע פלאנק. הקבוע $G$ הוא קבוע הברכיסטוכרון הקוונטי, הנועד לסדר את היחידות. עם זאת, קבוע הברכיסטוכרון הקוונטי אינו ידוע, וההשערות אומרות כי רק מחשבים קוונטיים יוכלו לחשב אותו עד לדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה, כיוון שבעיית הברכיסטוכרון הקוונטית אינה ניתנת לפתרון אנליטי בכלים של היום. ההשערות נעות בין $3.236\cdot 10^{-1}Ks$ ל- $9.628589\cdot 10^{3}Ks$

טרנספורם איירי ואופרטור הזמן

כל פונקציה פיזיקלית סבירה למקוטעין ניתן לכתיבה כצירוף ליניארי של פונקציות איירי, קרי אם $f$ פונקציה פיזיקלית סבירה למקוטעין, אזי ניתן לרשום $f(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\widetilde {f}}(z)Ai(z+x)dz$, כאשר ${\widetilde {f}}(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)Ai(x+z)dx$. מסתבר שכל פונקציה עצמית של אופרטור הזמן בהצגת המקום היא פונקציה פיזיקלית סבירה למקוטעין, ולכן אם $\psi$ פונקציה עצמית של אופרטור הזמן, אזי בהצגת המקום (שלא בתוך כוכב נייטרונים, שכן אנו דורשים שאופרטור הזמן יהיה הרמיטי, ולא קוואזיהרמיטי), היא תכתב כטרנספורם איירי, קרי $\psi (x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\widetilde {\psi }}(z)Ai(x+z)dz$. הפונקציה ${\widetilde {\psi }}(z)$ נקראת בשפה המקצועית (ספציפית לפונקציה עצמית של אופרטור הזמן) טרנספורם הזמן הטראנסממדי, או בלעז Transdimensional time transformation. טרנספורם הזמן הטראנסממדי נותן מענה חלקי לבעיית השזירה בין יקומים, וכן קיימת ההשערה שהוא יכול לעזור למצוא פתרונות למשוואת שרדינגר בהצגת הזמן. השערה זו תלויה בקיומם של מחשבים קוונטים.

ראו גם

• זמן
• אנטרופיה
• מכניקת הקוונטים