סדרת סילבסטר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

סדרת סילבסטר היא סדרה של מספרים טבעיים, המוגדרת לפי נוסחת הנסיגה , כאשר . הסדרה נקראת על שמו של המתמטיקאי היהודי בריטי ג'יימס ג'וזף סילבסטר.

בסדרה זו מתקיים שכל איבר שווה למכפלה של קודמיו בסדרה בתוספת 1, לפי היחס , וכך אפשר לראות שכל שני מספרים בה זרים זה לזה. תכונה זו מספקת הוכחה מיידית למשפט של אוקלידס שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים: לכל איבר בסדרה יש מחלק ראשוני, ואלו חייבים להיות שונים זה מזה.

חשיבותה העיקרית של סדרת סילבסטר בכך שמבין כל הפתרונות למשוואה הדיופנטית בנעלמים , עבור טבעי כלשהו, הפתרון שבו הוא הגדול ביותר מתקבל מ- איברי סדרת סילבסטר הראשונים, לפי הנוסחה . בפרט, למשוואה זו יש מספר סופי של פתרונות.

לדוגמה, ארבעת האיברים הראשונים של סדרת סילבסטר הם 2, 3, 7, 43, ואכן .