סוגרי פואסון

סוגרי פואסון הוא אופרטור בי-ליניארי במכניקה המילטונית, הפועל על שתי פונקציות שתחום ההגדרה שלהן הוא במרחב הפאזה. סוגרי פואסון הם כלי חשוב במכניקה אנליטית.

הגדרתו של האופרטור היא:

$\{u,v\}_{q,p}={\frac {\partial u}{\partial q}}{\frac {\partial v}{\partial p}}-{\frac {\partial v}{\partial q}}{\frac {\partial u}{\partial p}}$

$u(q,p),v(q,p)$	הן פונקציות גזירות התלויות ב $q,p$,
$q,p$	הם משתנים

האופרטור נמצא בשימוש נרחב במכניקה אנליטית.

סוגרי פואסון במספר משתנים

יהיו $(q_{i},p_{j})$ קואורדינטות קנוניות במרחב הפאזה. יהיו $f(p_{i},q_{i},t)$ ו- $g(p_{i},q_{i},t)\,$ שתי פונקציות גזירות בקואורדינטות הקנוניות. אזי סוגרי פואסון מוגדרים להיות:

$\{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right]$

תכונות אלגבריות

• ליניאריות

$\{\lambda u,\sigma v\}_{q,p}=\lambda \sigma \{u,v\}_{q,p}$

• אנטי סימטריות

$\{u,v\}_{q,p}=-\{v,u\}_{q,p}$

• מקיים את חוק לייבניץ לנגזרות

$\{f,gh\}_{q,p}=\{f,g\}_{q,p}h+g\{f,h\}_{q,p}$

• זהות יעקובי

$\{u,\{v,w\}\}_{q,p}+\{w,\{u,v\}\}_{q,p}+\{v,\{w,u\}\}_{q,p}=0$

שימושים בפיזיקה

בפיזיקה, משוואות הפורמליזם ההמילטוניאני מנוסחות בעזרת סוגרי פואסון. בעזרת סוגרי הפואסון ניתן להגדיר את המשתנים הקנוניים של המערכת.

במכניקה קוונטית, הקומוטטור מקיים את אותן תכונות אלגבריות כמו סוגרי הפואסון. שיטת קוונטיזציה סטנדרטית, שפותחה על ידי פול דיראק, משתמשת בסוגרי פואסון של מערכת קלאסית כדי לתאר את המערכת הקוונטית. האופרטורים המייצגים של הגדלים הקלאסיים נבחרים כך שיחס החילוף בניהם שווה לסוגר הפואסון הקלאסי שלהם כפול $i\hbar$(כאשר $\hbar$ הוא קבוע פלאנק חלקי 2π). בגלל שהקומוטטור וסוגרי פואסון מקיימים את אותן תכונות אלגבריות, עבור מערכות פשוטות מספיק הדבר מבטיח שמשוואות התנועה הקוונטיות יהיו בעלות אותה צורה כמו משוואות התנועה הקלאסית (בתמונת הייזנברג). כך לדוגמה, משום שהמקום $X$והתנע $P$מקיימים באופן קלאסי $\{X,P\}_{P.B.}=1$, ובקוונטיזציה קנונית $[X,P]=XP-PX=i\hbar$, אז משוואות התנועה הקוונטיות, היינו משוואת הייזנברג, נותנת:

${\dot {X}}=P;{\dot {P}}={\frac {dV}{dX}}$

שהן בדיוק משוואות התנועה הקלאסיות. קוונטיזציה קנונית מבטיחה שהיחס הזה ישמר עבור מערכות לא פתולוגיות. את התהליך הזה ניתן להכליל גם עבור שדות, והוא משמש כדי להגדיר את המרחב והאופרטורים הבוזונים בתורת השדות הקוונטית.

קישורים חיצוניים

• סוגרי פואסון, באתר MathWorld (באנגלית)