קומוטטור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, הקומוטטור הוא פונקציה של שני אברים בחוג או חבורה, המודדת באיזו מידה האברים אינם מתחלפים; במלים אחרות, הפונקציה מודדת עד כמה נכשלת תכונת הקומוטטיביות. בחוג קומוטטיבי או בחבורה קומוטטיבית הקומוטטור הוא תמיד טריוויאלי.

קומוטטור חיבורי וכפלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקומוטטור החיבורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בחוג R, הקומוטטור החיבורי מוגדר לפי הנוסחה \ [a,b]=ab-ba. הקומוטטור מתאפס רק אם a ו-b מתחלפים \ ab=ba. פונקציית הקומוטטור היא אדיטיבית בשני המשתנים, ואם R הוא אלגברה, אז זוהי פונקציה בילינארית.

כל אלגברה אסוציאטיבית הופכת להיות אלגברת לי ביחס לפעולת הקומוטטור.

באלגברת המטריצות, העקבה של כל קומוטטור היא אפס, וגם ההפך נכון במידת מה: כל מטריצה בעלת עקבה אפס היא סכום של קומוטטורים.

לקומוטטורים (וגם לעקבה) תפקיד מרכזי בתאוריה של אלגברות עם זהויות. הדוגמה הבסיסית בתחום זה היא הזהות \ [[a,b]^2,c]=0, שאותה מקיימת אלגברת המטריצות \ M_2(F). במלים אחרות, כל שלוש מטריצות a,b,c בגודל \ 2\times 2 מעל שדה מקיימות את הזהות \ [a,b]^2c=c[a,b]^2.

הקומוטטור הכפלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בחבורה המושג 'קומוטטור' מתייחס לקומוטטור הכפלי, \ [a,b]=aba^{-1}b^{-1}. גם כאן מתקיים \ [a,b]=1 אם ורק אם \ ab=ba. אם G היא חבורה, אז תת-החבורה שלה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים נקראת תת חבורת הקומוטטורים ומסמנים אותה ב- \ G'; זוהי בניה יסודית בתורת החבורות, מכיוון שתת-חבורת הקומוטטורים היא תמיד תת-חבורה נורמלית, והמנה \ G/G' היא המנה האבלית המקסימלית של G. באופן כללי יותר, אם N,K הן תת-חבורות נורמליות של G, אז מסמנים ב- \ [N,K] את תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים \ [n,k] של האיברים \ n\in N, k\in K. זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת גם ב- N וגם ב- K.

איברים המתקבלים מלקיחת קומוטטור k פעמים נקראים 'קומוטטורים ממשקל k' (למשל, \ [[a,b],[c,d]] הוא קומוטטור ממשקל 3), והם קשורים לתכונות של החבורה כמו פתירות או נילפוטנטיות. לשם הקיצור, מקובל לסמן \ [a,b,c]=[[a,b],c] (קומוטטור ממשקל 2), ובאופן כללי \ [a_1,a_2,\dots,a_k]=[[a_1,a_2,\dots,a_{k-1}],a_k]. תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים \ [a_1,a_2,\dots,a_k] מסומנת ב- \ G_k, וכך \ G'=G_2 ובאופן כללי \ G_{k+1}=[G_k,G]. חבורה נילפוטנטית ממחלקה k היא כזו שבה \ G_{k+1}=1.

קומוטטורים מקיימים מספר זהויות חשובות, למשל \ [a,b]=[b,a]^{-1} ו- \ [a,bc]=[a,b][a,c]^b כאשר \ x^y הוא סימון מקוצר לצמוד \ yxy^{-1}. זהות ידועה אחרת היא זהות יעקובי: \ [x,y^{-1},z]^y [y,z^{-1},x]^z [z,x^{-1},y]^x=1. מזהות זו נובעת למת שלוש תת-החבורות: אם H,K,L תת-חבורות נורמליות של G, אז \ [H,K,L]\subseteq [K,L,H][L,H,K]. בפרט (אם נבחר K=L) מתקיים \ [H,[L,L]]\subseteq [L,[L,H]]. אם כעת נבחר \ H=[L,L] נקבל \ [[L,L],[L,L]]\subseteq [L,[L,[L,L]]], כלומר \ G''\subseteq G_4. זהו מקרה פרטי של משפט כללי יותר: כל הקומוטטורים ממשקל k שייכים ל- \ G_{k+1}. אם כך, בחבורה נילפוטנטית ממחלקה k, כל הקומוטטורים ממשקל k הם טריוויאליים.

מושגים דומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אנטי-קומוטטור[עריכת קוד מקור | עריכה]

כמו הקומוטטור, אפשר להגדיר גם אנטי קומוטטור עבור חוג או אלגברה, בתור האיבר \ \{a,b\} = ab+ba. אם A היא אלגברה אסוציאטיבית, אז היא אלגברת ז'ורדן ביחס לפעולת האנטי-קומוטטור.

אסוציאטור[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אסוציאטור

בדומה לקומוטטור שמודד את כישלון הקומוטטיביות, מגדירים באלגברה לא אסוציאטיבית פונקציה בשם האסוציאטור (associator), לפי הנוסחה \ (a,b,c)=(ab)c-a(bc). האסוציאטור מקיים את הזהות \ a(x,y,z)+(a,x,y)z=(ax,y,z)-(a,xy,z)+(a,x,yz).

הקומוטטור בפיזיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בפיזיקה, וליתר דיוק, במכניקת הקוונטים, הקומוטטור של אופרטורים במרחב הילברט הוא מושג שימושי מאוד. במכניקת הקוונטים יחסי החילוף של אופרטורים מלמדים דברים חשובים על תכונותיהם. אם אופרטור מתחלף עם ההמילטוניאן אזי הוא מייצג גודל שנשמר במערכת (חוק שימור), וסימטריה בקואורדינטה הצמודה. כמו כן, אם אופרטור מתחלף עם אופרטור אחר אז אפשר ללכסן אותם סימולטנית (ביחד) ואגב כך לקבל בו זמנית את ערכי התצפית של שניהם בצורה מדויקת, על כן זוהי תכונה שימושיות ביותר. בניגוד לזה, כל שני אופרטורים A ו B שאינם מתחלפים מקיימים את עקרון אי הוודאות בניסוחו הכללי:

\ \frac{1}{2} | \lang i[A,B] \rang | \le \Delta A \cdot \Delta B

כלומר, אי-אפשר למדוד את A ואת B בו-זמנית בדיוק מוחלט.

יחסי חילוף של אופרטורים קוונטים חשובים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מיקום ותנע קווי - \ [ x_i , p_j ] = i \hbar \delta_{ij} כאשר  x_i הוא אופרטור מיקום ו-  p_j הוא אופרטור תנע.
עם זאת, האופרטור  \ L^2 מתחלף עם כל אחד מרכיביו:  \ [L^2,L_j]=0
  • אופרטורי יצירה וחיסול של בוזונים מקיימים יחסי חילוף , כלומר [a(\vec k_1),a^\dagger(\vec k_2)]=\delta(\vec k_1-\vec k_2) , ואילו אופרטורי יצירה וחילוף של פרמיונים מקיימים יחסי אנטי חילוף כלומר \{a(\vec k_1),a^\dagger(\vec k_2)\}=\delta(\vec k_1-\vec k_2). הדבר מבטא את הסטטיסטיקה השונה של חלקיקים אלו.