עקרון דיריכלה (תורת הפוטנציאל)

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הפוטנציאל, עקרון דיריכלה הוא ההנחה שהפונקציה שמביאה למינימום פונקציונל אנרגיה מסוים היא פתרון למשוואת פואסון.

ניסוח פורמלי

עקרון דיריכלה קובע, שאם הפונקציה $u(x)$ היא פתרון למשוואת פואסון:

$\nabla ^{2}u+f=0$

על תחום $\Omega$ של $\mathbb {R} ^{n}$ יחד עם תנאי שפה:

$u=g{\text{ on }}\partial \Omega ,$

אז $u$ ניתנת לקביעה כפונקציה שמביאה למינימום את אנרגיית דיריכלה:

$E[v(x)]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x$

בין כל הפונקציות הגזירות פעמיים $v$ כך ש-$v=g$ על $\partial \Omega$ (בהינתן שקיימת לפחות פונקציה אחת שהופכת את אינטגרל דיריכלה לסופי). כיוון שהעיקרון מאפשר לקבוע את הפונקציה $u$ בכל התחום $\Omega$, אז גם הפונקציה $f$ ניתנת לקביעה, בהתאם למשוואת פואסון. עיקרון זה קרוי על שם המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה.

שימושים

בהשאלה לאלקטרוסטטיקה ניתן לפרש את העיקרון כעובדה שבין כל התפלגויות המטען $\rho (x,y,z)={\frac {f(x,y,z)}{4\pi }}$ בתחום $\Omega$ אשר צמצום הפוטנציאל החשמלי $u$ שהן יוצרות לשפת התחום הוא פונקציה נתונה, אז ההתפלגות היחידה שמניבה פוטנציאל כזה על השפה היא זו שמביאה למינימום את האנרגיה המושקעת כדי להרכיב את ההתפלגות הזאת. האיבר השמאלי בביטוי עליו עורכים אינטגרציה,${\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}$, מייצג את ריבוע השדה החשמלי בנקודה, או את האנרגיה האלקטרוסטטית האצורה בנקודה, ואילו האיבר הימני, $-vf$, מייצג את מכפלת צפיפות המטען המקומית בפוטנציאל המקומי. אינטגרציה על ההפרש ביניהם מייצגת במדויק את האנרגיה הדרושה כדי להרכיב את התפלגות המטען הזאת. במובן זה, עקרון דיריכלה הוא סוג של עקרון וריאציוני על שיווי משקל המתקבל במצב של מינימום אנרגיה. כמו במקרים אחרים בפיזיקה, לעיתים התרת בעיות באמצעות מושג האנרגיה מפשטת אותן באופן ניכר, זאת לעומת שימוש בגישה ישירה יותר של חישוב כוחות.

למשל, כאשר עוסקים בבעיה של התפלגות המטענים על קליפה מוליכה טעונה, אז הפוטנציאל $u$ על הקליפה קבוע על ערך $U$ (זהו תנאי המוליכות), ואנרגיית דיריכלה מקבלת את הצורה: $E[v(x)]=\int _{\Omega }{\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}\,\mathrm {d} x-QU$ (כאשר $Q$ הוא המטען הכולל על הקליפה). כיוון ש-$QU$ הוא איבר קבוע, הוא אינו משפיע על תהליך מציאת ההתפלגות. בתצורות מוליך פשוטות כמו קליפה כדורית אין צורך בעקרון (התפלגות המטען אחידה), אולם כבר בתצורות מעט מורכבות יותר, כמו קליפה אליפסואידית, מקבלים שהתפלגות המטען לא יכולה להיות אחידה שכן כך הפוטנציאל החשמלי על הקליפה אינו אחיד.

היסטוריה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

קישורים חיצוניים

• עקרון דיריכלה, באתר MathWorld (באנגלית)