פונקציית התפלגות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף פונקציית הצטברות)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת ההסתברות, פונקציית התפלגות' פונקציית הצטברות או פונקציית התפלגות מצטברת (פה"מ) (באנגלית: Cumulative distribution function, בראשי תיבות: CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה , לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.

תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם X משתנה מקרי, פונקציית ההתפלגות המוגדרת על ידי: מקיימת בהכרח ארבע תכונות:

  1. הגבול שווה ל-0.
  2. הגבול שווה ל-1.
  3. הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר לכל .
  4. הפונקציה רציפה מימין.

ולהפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי כך ש-F היא פונקציית ההתפלגות שלו. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות . ואכן, אם דורשים ש- , נובע שהגבול משמאל שווה להסתברות . מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה , , ו- .

בפרט נובע ש-, כך שהסיכוי למאורעות הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קוביה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח ש- הוא תוצאת ההטלה של קוביה הוגנת, כלומר הוא יכול לקבל כל אחד מהמספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6 בסיכוי שווה (סיכוי 1/6 כל אחד. למעשה זוהי התפלגות אחידה בדידה).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של נתונה על ידי:

התפלגות ברנולי[עריכת קוד מקור | עריכה]

דוגמה נוספת: נניח ש- הוא משתנה מקרי ברנולי, כלומר הוא יכול לקבל רק את הערכים 0 ו-1, והוא מקבל את הערך 1 בסיכוי , ואת הערך 0 בסיכוי (למשל: אם אז ).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של נתונה על ידי:

כי ההסתברות ש- יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן או שווה ל-1 היא 100%, וההסתברות שהוא יקבל ערך גדול-שווה מ-0 אך קטן מ-1 היא .

התפלגות אחידה רציפה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח ש- מתפלג באופן אחיד בקטע [0, 1]. אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של נתונה על ידי:

כי ההסתברות ש- יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן מ-1 היא 100%, וההסתברות למאורע לכל מספר בין 0 ל-1 היא .

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פונקציית התפלגות בוויקישיתוף