פורטל:מתמטיקה/נוסחה נבחרת/5

$$x=-{\frac {b}{a}}$$

$$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$$

$${\begin{aligned}x_{1,2,3}=-{\frac {b}{3a}}&+{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}\\&+{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}\end{aligned}}$$

נוסחאות למציאת פתרונות למשוואות פולינומיות ממעלות 1 עד 4. השורשים ממעלה שלישית הם אלגבריים, זאת אומרת שניתן להציב במקומם כל אחד משלושת השורשים המרוכבים. עם זאת בשתי הנוסחאות האחרונות, לא כל הצבה כזאת (כמו גם בחירה של הסימן $\pm$) תיתן שורש, אבל כל שורש אפשר לקבל כהצבה. הנוסחה האחרונה לא תקפה כשהמכנים מתאפסים, יש נוסחאות שונות למקרים אלה. שתי הנוסחאות האחרונות נחשבות לאחד ההישגים המשמעותיים של המתמטקה של הרנסאנס. בגלל החזרות הרבות, אפשר לפשט משמעותית את שתי הנוסחאות הארחונות אם מכניסים סימוני עזר בשביל חלקים של הנוסחה שחוזרים על עצמם. לפי תורת גלואה, לא ניתן לפתח נוסחאות המבוססות על ארבע פעולות החשבון ושורשים עבור משוואות ממעלה גבוהה יותר.