פרדוקס אלסברג

בתורת ההחלטות, פרדוקס אלסברג (או הפרדוקס של אלסברג) הוא פרדוקס שבו החלטות של אנשים אינן עולות בקנה אחד עם תורת תוחלת התועלת הסובייקטיבית. דניאל אלסברג פרסם את הפרדוקס במאמרו משנת 1961, "סיכון, עמימות ואקסיומות הפרא". ג'ון מיינרד קיינס פרסם גרסה מוקדמת של הפרדוקס בשנת 1921. הפרדוקס ממחיש את הנטייה לשנאת עמימות, שבה אדם נוטה להעדיף בחירות הכרוכות בסיכונים הניתנים לכימות, על פני בחירות הכרוכות בסיכונים שאינם ניתנים לכימות.

הממצאים של אלסברג מצביעים על כך שבבחירות הכרוכות בסיכון, יש העדפה לבחירה בין אפשרויות שהסיכון שלהן ידוע, על פני בחירה בין אפשרויות שהסיכון שלהן אינו ידוע. מקבל החלטות יעדיף באופן גורף בחירה עם הסתברות שקופה לסיכון, דהיינו סיכון שניתן לחשב, על פני בחירה עם סיכון שאיננו ידוע ואינו ניתן לחישוב, אפילו במקרים שבהם האלטרנטיבה היא בעלת תוחלת תועלת רבה יותר.

מחקר ניסיוני

המחקר הניסיוני של אלסברג כלל שני ניסויי מחשבה: תרחיש 'שני כדים שני צבעים', ותרחיש 'כד אחד שלושה צבעים'.

פרדוקס שני כדים

יש שני כדים שכל אחד מכיל 100 כדורים. ידוע שכד א' מכיל 50 כדורים אדומים ו-50 כדורים שחורים, ואילו כד ב' מכיל תמהיל לא ידוע של כדורים אדומים ושחורים.

בפני המשתתף מוצגים ההימורים הבאים:

הימור 1A: קבל $1 אם כדור אדום נשלף מכד א', $0 אחרת

הימור 2A: קבל $1 אם כדור שחור נשלף מכד א', $0 אחרת

הימור 1B: קבל $1 אם כדור אדום נשלף מכד ב', $0 אחרת

הימור 2B: קבל $1 אם כדור שחור נשלף מכד ב', $0 אחרת

בדרך כלל, המשתתפים בניסוי היו אדישים בין הימור 1A לבין הימור 2A (מה שתואם את תורת תוחלת התועלת), אך העדיפו באופן גורף את הימור 1A על פני הימור 1B, וכן העדיפו באופן גורף את הימור 2A על פני הימור 2B. העדפה זו מתפרשת בדרך כלל כתוצאה של שנאת עמימות (המכונה גם שנאת אי-ודאות); אנשים לא אוהבים מצבים שבהם הם לא יכולים לייחס הסתברויות לתוצאות, במקרה זה הם מעדיפים את ההימור שבו הם יודעים גם את התועלת וגם את ההסתברות (תועלת של $1 בהסתברות של 50% במקרה זה) על פני ההימור בו הם יודעים את התועלת אך לא את ההסתברות.

פרדוקס של כד אחד

יש כד אחד המכיל 90 כדורים: 30 כדורים הם אדומים, בעוד 60 הכדורים הנותרים הם שחורים או צהובים בפרופורציות לא ידועות. הכדורים מעורבבים היטב כך שכל כדור צפוי להישלף כמו כל כדור אחר.

בפני המשתתף מוצגים ההימורים הבאים:

הימור A: קבל $100 אם כדור אדום נשלף מהכד, $0 אחרת

הימור B: קבל $100 אם כדור שחור נשלף מהכד, $0 אחרת

כמו כן, בפני המשתתף מוצגים ההימורים הבאים:

הימור C: קבל $100 אם כדור אדום או צהוב נשלף מהכד, $0 אחרת

הימור D: קבל $100 אם כדור שחור או צהוב נשלף מהכד, $0 אחרת

תנאי הניסוי המוצעים על ידי אלסברג מתייחסים לשני עקרונות כלכליים: "אי ודאות נייטיאני" , דהיינו האופי הבלתי ניתן לכימות של היחס בין כדורים צהובים ושחורים בתוך הכד הבודד, וההסתברות, שעל פיה כדורים אדומים נדגמים ביחס של 23:13.

פרשנות על פי תורת התועלת

תורת התועלת מציעה את המודל הבא לקבלת החלטות במקרה הנידון. על פי המודל, בבחירה בין זוגות ההימורים הללו, אנשים מבצעים הנחה סמויה לגבי ההסתברות לכך שהכדורים שאינם אדומים הם צהובים לעומת שחורים, ואז מחשבים את התועלת הצפויה לכל אחד משני ההימורים בנפרד.

מכיוון שהפרסים זהים, יוצא שהמשתתפת תעדיף את הימור A על פני הימור B אם ורק אם היא מאמינה ששליפה של כדור אדום סבירה יותר משליפת כדור שחור (לפי תורת תוחלת התועלת). כמו כן, המשתתפת תהיה אדישה בין הבחירות אם היא מאמינה שכדור אדום סביר בדיוק כמו כדור שחור. באופן דומה, המשתתפת תעדיף את הימור C על פני הימור D אם ורק אם היא סבורה ששליפה של כדור אדום או צהוב היא סבירה יותר מאשר שליפה של כדור שחור או צהוב. באופן אינטואיטיבי היינו חושבים שאם שליפה של כדור אדום היא סבירה יותר מאשר שליפה של כדור שחור, הרי ששליפה של כדור אדום או צהוב גם היא סבירה יותר מאשר שליפה של כדור שחור או צהוב. לכן, בהנחה שהמשתתפת מעדיפה את הימור A על הימור B, יוצא שהיא תעדיף את הימור C על הימור D, וכן להפך.

עם זאת, שנאת עמימות תנבא שאנשים יעדיפו את הימור A על הימור B, כי ההסתברות של A היא ידועה:

23:13, אבל ההסתברות של B אינה ידועה. באותו אופן, היא תעדיף את הימור D על הימור C. זאת משום שההסתברות להימור D היא ידועה: 13:23, ואילו ההסתברות להימור C אינה ידועה.

הממצאים של אלסברג סותרים הנחות שנעשו במסגרת תורת תוחלת התועלת, כאשר הסתבר שהמשתתפים פועלים מתוך שנאת עמימות, ומעדיפים את הימור A על הימור B ואת הימור D על הימור C, בעוד שעל פי תורת תוחלת התועלת הם היו אמורים להיות אדישים בין A ל B, וכן בין C ו D.

הפרדוקס, לסיכום, הוא זה:

על פי תורת תוחלת התועלת (שהייתה התורה השלטת בתחום קבלת החלטות), אם משתתפת תעדיף את הימור A על פני הימור B, אזי היא תעדיף את הימור C על פני הימור D.

אך על פי הניסויים של אלסברג, המשתתפת הטיפוסית תעדיף, בשל שנאת עמימות, את הימור A על פני הימור B, אבל מאותה סיבה היא גם תעדיף את הימור D על פני הימור C.

כלליות הפרדוקס

התוצאה תקפה ללא קשר לפונקציית התועלת. אכן, גם גובה התמורה אינו רלוונטי. לא משנה באיזה הימור נבחר, הפרס על הזכייה בו זהה, ועלות ההפסד שלו זהה (אפס), כך שבסופו של דבר יש רק שתי תוצאות אפשריות: לקבל סכום כסף מסוים או לא לקבל כלום. לכן, די בהנחה המינימלית שההעדפה היא לקבל כסף עד פני לא לקבל כלום (ולמעשה גם הנחה זו אינה הכרחית: בטיעון המתמטי לעיל, הונח ש –

U($100) > U($0), אך עדיין ניתן להשיג סתירה עבור ההנחה האלטרנטיבית U($100) < U ($0) וכן עבור ההנחה U($100) = U($0)).

מאמרו של דניאל אלסברג משנת 1961, "סיכון, עמימות והחלטה"

עם סיום לימודיו בכלכלה באוניברסיטת הרווארד ב-1952 וקבלת תואר דוקטור, אלסברג התגייס לחיל הנחתים אמריקאי, ובשנת 1957 חזר להרווארד כדי להשלים את לימודי הפוסט-דוקטורט בנושא קבלת החלטות תחת אי-ודאות. אלסברג עזב את לימודיו כדי להצטרף למכון ראנד שם עבד בתפקיד אנליסט אסטרטגי, אך הוסיף לעסוק במקביל במחקרו האקדמי. הוא הציג את המאמר פורץ הדרך שלו בכינוס של החברה האקונומטרית בדצמבר 1960. עבודתו של אלסברג, המבוססת על מחקרים קודמים של ג'ון מיינרד קיינס ושל פרנק נייט , איתגרה את תאוריית הבחירה הרציונלית שהייתה שלטת באותה עת. היצירה פורסמה לציבור הרחב רק בשנת 2001, כארבעים שנה לאחר שפורסמה, בשל שערוריית מסמכי הפנטגון אשר בה שיחק אלסברג תפקיד מפתח ואשר הסיחה את תשומת ליבו ממחקר במשך כל אותן שנים. מאמרו נחשב רב השפעה בעת שפורסם, והוא עדיין נחשב בעל השפעה בחוגי האקדמיה, בתחום של כלכלת אי ודאות, עמימות וסיכון.