קבוע דה ברויין-ניומן

במתמטיקה, קבוע דה ברויין-ניומן, המסומן באות $\Lambda$, הוא קבוע מתמטי ממשי, שערכו אינו ידוע. הקבוע מוגדר באמצעות משפחה חד-פרמטרית של פונקציות מרוכבות $H_{t}(z)$, וחשיבותו בכך שהשערת רימן שקולה לכך שהוא אינו גדול מאפס. ידוע ש-$0\leq \Lambda$.

אם מגדירים $\Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})\exp(-\pi n^{2}e^{4u})$ (כאשר $0\leq u$ ממשי), אפשר לבטא את פונקציית קסי של רימן כאינטגרל ${\frac {1}{8}}\xi (z/2)=\int _{0}^{\infty }\Phi (u)\cos(zu)du$ (כאשר $z$ משתנה מרוכב). השערת רימן שקולה לטענה ש-$\xi$ היא בעלת שורשים ממשיים בלבד (כלומר, כל הערכים $z\in \mathbb {C}$ שעבורם $\xi (z)=0$ הם ממשיים). את ההגדרה הזו אפשר להכליל באמצעות הוספת פרמטר ממשי $\lambda$ למשפחת פונקציות $H_{\lambda }(z)=\int _{0}^{\infty }e^{{\lambda }u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)du$, כך ש-${\frac {1}{8}}\xi (z/2)=H_{0}(z)$.

בהקשר זה, טבעי לשאול עבור אלו ערכים של $\lambda$ הפונקציה $H_{\lambda }(z)$ היא בעלת שורשים ממשיים בלבד. הקבוע $\Lambda$ מוגדר כאינפימום של קבוצת הערכים $\lambda$ שעבורם $H_{\lambda }(z)$ היא בעלת שורשים ממשיים בלבד. לאור הקשר בין הפונקציה $\xi$ לבין $H_{0}$, השערת רימן שקולה לטענה ש-$\Lambda \leq 0$.

ניקולאס חוברט דה ברויין הוכיח ב-1950 ש-$H_{\lambda }(z)$ בעלת שורשים ממשיים בלבד לכל $\Lambda <\lambda$, ואינה כזו לכל $\lambda <\Lambda$. בנוסף, הוא הוכיח ש-$\Lambda \leq 1/2$. צ'ארלס ניומן השלים את התמונה בשנת 1976, בהוכיחו ש-$H_{\lambda }(z)$ בעלת שורשים ממשיים בלבד גם עבור $\lambda =\Lambda$, ושיער ש-$0\leq \Lambda$; כלומר, ש-$H_{\lambda }$ אינה בעלת שורשים ממשיים בלבד כאשר $\lambda <0$.

הגבול התחתון הטוב ביותר הידוע עבור הקבוע השתפר בהדרגה, לפי הטבלה הבאה:

שנה	גבול תחתון ידוע	מקור
1988	$-50$
1991	$-5$
1990	$-0.385$
1994	$-4.379\cdot 10^{-6}$	Csordas, Smith and Varga
1993	$-5.895\cdot 10^{-9}$	Csordas, Odlyzko, Smith and Varga
2000	$-2.7\cdot 10^{-9}$
2011	$-1.1\cdot 10^{-12}$
2018	$0$	Rodgers and Tao

קישורים חיצוניים

• קבוע דה ברויין-ניומן, באתר MathWorld (באנגלית)