קוונטיזציה (פיזיקה)

בפיזיקה, קוונטיזציה (קְוַנְטִיזַצְיָה) (באנגלית: Quantization) הוא התהליך שבו נבנית מכניקת הקוונטים ממכניקה קלאסית או תורת שדות קוונטית מתוך תורת שדות קלאסית. ניתן גם לדבר על "קוונטיזצית שדה", כגון במשפט "קוונטיזציה של שדה אלקטרומגנטי", כאשר כאן מתייחסים לפוטונים כאל ה"קוונטים" של השדה. תהליך הקוונטיזציה הוא תהליך יסודי בפיזיקת החלקיקים, פיזיקה גרעינית, פיזיקת החומר המעובה ואופטיקה קוונטית.

היסטוריה של קוונטיזציה במכניקה

מקור הנחת הקוונטיזציה באנרגיה

הנחת הקוונטיזציה הראשונה הופיעה ב-1900, על ידי הפיזיקאי הגרמני מקס פלאנק. שלא בכוונה, גרם פלאנק למהפכה של ממש בפרדיגמה של המכניקה של הגופים הקטנים ביותר, אותם גופים אשר החושים האנושיים לא מסוגלים למדוד. מהפכה זאת החלה בהנחת חלוקת האנרגיה: פלאנק טען כי האנרגיה מחולקת למנות בדידות קטנות סופיות, ושכל אנרגיה מגיעה כמספר של מנות קטנות אלו. למנות קרא קוונטות, ובעזרת עיקרון זה פתר את בעיית קרינת הגוף השחור:

בשנת 1859–1860 הגדיר גוסטב קירכהוף, פיזיקאי פרוסי, את מודל "הגוף השחור". גוף שחור אידיאלי הוא גוף אשר סופח אליו כל קרינה אלקטרומגנטית אשר מגיעה אליו ופולט אותה לסביבה באופן אחיד, כתלות בטמפרטורת הגוף בלבד. לאחר מכן, בשנת 1879, הפיזיקאי ג'וזף סטפן הציע פתרון תרמודינמי לצפיפות האנרגיה, בעיית תיאור ספקטרום הפליטה: עוצמת הקרינה כתלות באורך הגל עבור גוף בטמפ' קבועה - נותרה ללא מענה. בשנת 1896, ויליאם וין (Wein) ניסח הצעה לפתרון שפותחה מתוך סכימה אינסופית (אינטגרל) על האנרגיות:

$<E>=\int \limits _{0}^{\infty }\displaystyle E\cdot p(E)dE$

כאשר $p(E)$ היא צפיפות ההסתברות לפי התפלגות בולצמן. מתוך כך הגיע וין לנוסחאתו :

$R(v)={\frac {2\pi }{c^{2}}}\cdot {\frac {hv^{3}}{e^{\frac {hv}{K_{B}T}}}}$.

(הנוסחה מוצגת בסימון מודרני; בכתביו המקוריים של וין לא היה אזכור לקבוע פלאנק, כמובן, אלא סימון אחר α ששילב בין קבוע פלאנק לקבוע בולצמן). נוסחת וין מהווה פריצת דרך אדירה, משום שלעומת חוק ריילי-ג'ינס, נוסחתו של של וין התמודדה עם הקטסטרופה באולטרה-סגול ובנוסף הניבה התאמה אמפירית עבור λT גדולים. עם זאת, בשנת 1899, צמד הנסיינים לומר ופרינגשיים במעבדתם שבמכון לחקר הקרינה בברלין מדדו את ספקטרום קרינת הגוף השחור בטמפרטורות שונות. במדידות אלו התברר כי כאשר נוסחת וין מתאימה ל-λT גדולים, עבור תדרים גבוהים (λT קטנים) יש סטייה של התיאוריה מתוצאות הניסוי.

מקס פלאנק החל בניסיון תיקון המשוואה של וין, תוך התמקדות באנטרופיה של אוסילטור. פלאנק הניח הנחה פורמלית בלבד (אליה התייחס פלאנק בתור "טריק מתמטי") אשר מניח כי חלוקת האנרגיה מתבצעת באופן באופן בדיד ולא רציף. בניגוד לווין אשר ביצע אינטגרל על כלל האנרגיות, פלאנק הניח כי האנרגיה מגיע במנות מינמאליות של $E=nhv$ ומכאן:

$<E>=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\displaystyle {nhv\cdot p(nhv)}$

מכאן הוא גזר את נוסחאת פלאנק לפתרון בעיית גוף שחור:

$R(v)={\frac {2\pi }{c^{2}}}\cdot {\frac {hv^{3}}{e^{\frac {hv}{K_{B}T}}-1}}$.

פתרונו של פלאנק לבעיית הגוף השחור התאימה באופן מלא לתוצאות הניסוי של לומר ופרינגשהיים. פתרונו המדויק של פלאנק הוביל אותו להרהר במהות ההנחה על מנות האנרגיה הבדידות. במקור, פלאנק התייחס לחוסר הרציפות שיצר באנרגיית האוסילטור כהשערה מתמטית זמנית בלבד, ואין לייחס לו חשיבות פיזיקלית. ב-1900, כאשר פלאנק פרסם את פתרנו המהפכני, שלימים יתגלה בתור הנחה פיזיקלית בסיסית חשובה ויפהפייה, לא התייחסו להנחתו של פלאנק בצורה הזאת, אפילו לא פלאנק. פתרונו המדויק ראה שימוש ב-1902, והקהילה המדעית ראתה בו כפתרון המוסכם לבעיית קרינת הגוף השחור. יחד עם זאת, מעטים מאוד המדענים שבחרו להתייחס לשאלה "מדוע פתרונו של פלאנק נכון?".

האפקט הפוטואלקטרי והמעבר של אנרגיה בפוטון

בשנת 1905, איינשטיין פרסם מספר עבודות, אשר לימים יקראו Annus mirabilis papers, בעיתון מדעי גרמני Annalen der Physik. בעבודתו: "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt" - איינשטיין גזר מתוך נוסחת וין והנחות הלקוחות ממכניקה סטטיסטית את מנת האנרגיה המינימלית (quanta), כאשר כל האנרגיה של הגז מרוכזת בחלק קטן משמעותית מנפח המערכת. חישוב זה הוביל לתוצאה זהה לתוצאות של פלאנק, אך מתוך הנחות שונות. הנחות אלו הובילו את איינשטיין להאמין כי לקרינה יש אופי חלקיקי, משמע היא נישאת על גבי חלקיקים אותם איינשטיין כינה פוטונים. איינשטיין במאמרו, אשר יצא כ5 שנים לאחר פתרונו של פלאנק לקרינת גוף שחור, הקפיד לנסח את הנחותיו וקבועיו באופן שונה מפלאנק, תוך התנגדות להנחת אילוץ האנרגיה המינימלית הטבעית מתוך אמונה כי אילוץ זה סותר את הנחתו של איינשטיין כי לקרינה אופי חלקיקי והאנרגיה עוברת על גבי חלקיק הנושא אותה בשם פוטון.

הנחה כי קרינה עוברת על גבי חלקיקים היא מחשבה מהפכנית באופייה, משום שבתקופה זאת למודל הגלי של הקרינה הוכחות וקבלות רבות. ניסויים כמו "ניסוי שני הסדקים" של יאנג ותופעות גליות אחרות כמו עקיפה הראו כי לקרינה יש אופי גלי מובהק. איינשטיין היה מודע היטב לתיאוריות אלו, והיה נחוש להציג את התיאוריות שלו כ"נקודת מבט יוריסטית" והיה נחוש להראות את היתרון האמפירי של נקודת המבט שלו ולהוכיח את יעילה האמפירית של התיאוריה.

איינשטיין הסביר את האפקט הפוטואלקטרי חמוש במודל החלקיקי של האור, תוך חיזוי של הקשר $E=hv-P$ אשר לא נמדד בניסויים של פיליפ לנארד ב-1902.

קוונטיזציה במודל בוהר

מודל בוהר שפורסם ב-1913 בPhilosophical magazine בשלושה חלקים, טמן בחובו שתי הנחות קוונטיות משמעותיות. הראשונה שבהן היא ההנחה כי קיימים מצבים שהם סטציונארים, משמע שמרחקו של האלקטרון מהקליפה קבוע. נוסף על ההנחה הראשונה, פלאנק קבע כי פליטה ובליעה של קרינה בספקטרום נגרמת בעקבות מעבר של אלקטרונים בין אותם מצבים סטציונארים. בוהר הצביע על חוסר ההתאמה בין גישתו לגישה הקלאסית, משום שכאן קיים איסור של האלקטרון להופיע במצב ביניים, ולא ידוע מה קורה במעבר בין המצבים. בוהר מנמק זאת בעזרת טענת הכרחיות על מנת להסביר תופעות אמפיריות שונות אשר מתרחשות בעקבות מבנה האטום.

עוצמתו של מודל בוהר היא שהפרש האנרגיות של האלקטרון קובע את תדר הקרינה הנפלטת, ומתקיים קשר בהשראת גיליו של פלאנק ואיינשטיין: $E_{i}-E_{j}=hv$

בשנת 1914, לימן אישש את קווי הפליטה של אטום מימן עבור n=1 בעזרת מודל האטום של בוהר. בנוסף, בוהר הצליח לחזות בעזרת המודל שלו את הסטיות בקווים הספקטרליים בפליטה מכוכבי לכת, כאשר בוהר הסביר את המקורם בהליום ולא במימנים. בזכות התחזיות המדויקות של מודל האטום של בוהר בנושאי ספקטרוסקופיה, יציבות האטום ורטרודיקציה של תופעות עבר כמו ניסוי גייגר-מרסדן, הפך מודל בוהר למודל אשר אין הסכמה על הנחותיו, אך אמפירית מוכח כמודל המצליח לחזות מגוון רחב של תופעות באופן מדויק.

קשיים בקוונטיזציה במכניקת קוונטים ישנה

אפקט זימן

אפקט זימן, אשר התגלה בשנת 1896 על ידי פיטר זימן וקיבל בזכותו פרס נובל, הוא אפקט של שינוי בקווי ספקטרום כפונקציה של השדה המגנטי הפועל על האטום. זימן הראה ששינוי זה פרופורציונלי לשדה ומאפשר בעזרת שינוי בשדה המגנטי למדוד בדיוק רב את קווי הספקטרום ולהפך. למכניקת הקוונטים הישנה היה לא פשוט להסביר זאת אך עם התחשבות בתנע הזוויתי של האלקטרון כחלק מההמילטוניאן המערכת כאשר יש שדה מגנטי התקבל גם בעזרת הנחות קוונטיות ישנות, אך לאפקט זימן האנומלי - אשר התרחש באטומים גדולים יותר כמו הליום - לא היה היה הסבר כלל בעזרת תאוריית הקוונטים הישנה. בשנים 1920 עד 1924 מספר רב של פיזיקאים וביניהם לנדא, זומרפלד, פאולי ואיזנברג, ניסו לפתור את הבעיה, אך אף אחד מהם לא הצליח להסביר אותה במונחים קוונטיים ובאופן אשר יספק הסבר לכלל האטומים.

ניסוי קומפטון

ניסוי קומפטון, אשר נערך ב-1923 על ידי הפיזיקאי הניסונאי ארתור קומפטון, אישש את טענתו הקוונטית של איינשטיין לגבי תנע ואנרגיית הפוטון. טענה זאת סתרה את התיאוריה למבנה האטום של בוהר, אשר מהרו לפתח תיאוריה מקבילה אשר מבוססת על עקרון האוסילטורים הווירטואליים. תיאוריה זאת ביטלה את עקרון שימור האנרגיה באופן מוחלט והפכה אותו לחוק סטטיסטי. בנוסף, התיאוריה אינה סיבתית בזמן ובמרחב. תיאוריה מהפכנית זו נסתרה ב-1925 על ידי גייגר וווטלר, אשר הראו חוסר הסכמה עם ניסויים אמפיריים. למרות חוסר נכונותה, תיאוריה זאת שימשה השראה להייזנברג.

כבר בשנת 1924, הטרידו את קהילת הפיזיקאים הן הצטברות של ניסויים אנומליים והן התפשטות חוסר הסיפוק בקונספטים שהסבר להם או המבנה הלוגי שלהם לקו בחסר. מתוך כך האמון של הפיזיקאים בתאוריית הקוונטים הישנה הלך ופחת. תהליך זה, לצד הרצון להשתמש בעקרונות הקוונטים שמצאו בוהר, פלאנק ודה ברולי, גרם לקהילה המדעית – ובראשה הייזנברג ושרדינגר – לנסח מחדש תורה קוונטית אשר עקרונותיה ברורים ומובילה לפתרון הוליסטי של אותם אפקטים לא מוסברים.

קוונטיזציה במכניקת הקוונטים החדשה

מודל הייזנברג

מודל הייזנברג, אשר פרסם ורנר הייזנברג בשנת 1925 בכתב העת Zeitschrift fur Physik הוא "רה-אינטרפרטציה" של המכניקה הקלאסית. הוא לא קל לניסוח, ומבוסס על הגישה הפוזיטיביסטית שהייזנברג נקט בה. הגישה הפוזיטיביסטית מתרכזת רק בקשרים בין גדלים מדידים, ולא מייחסת משמעות לאף גודל אותו לא ניתן למדוד. בראש ובראשונה, מודל הייזנברג הוא מודל מתמטי סגור, המבוסס על מספר הנחות לוגיות ועל מספר קטן מאוד של הנחות פיזיקליות יסודיות אשר מחברות את המודל המתמטי אל התופעות הפיזיקליות אותן הוא מנסה לתאר.

בתחילת דרכו, בגלל מורכבותו המתמטית והשימוש בכלים ושפה שלא היו נפוצים בתוך קהילת הפיזיקאים המתעניינים במכניקת הקוונטים, המודל של הייזנברג לא עניין את מרביתם של הפיזיקאים למרות יתרונותיו.

למודל הייזנברג היו מספר הנחות מתמטיות אשר התבטאו בהנחת הקוונטיות - חוסר רציפות. המודל של הייזנברג מגדיר לכל מערכת פיזיקלית מצבים במרחב הילברט, אופרטורים מדידים ופונקציונלים. לכל גודל פיזיקלי יש אופטור מדידה הרמיטי, והערכים שאפשר לקבל במדידה הם הערכים העצמיים של אופרטור המדידה. הנחות אלו מצמצמות את מרחב המצבים האפשריים למדידה, שכן לכל ערך עצמי שעשוי להמדד יש מצב עצמי אליו פונקציית הגל קורסת בעת המדידה.

מודל שרדינגר

בשנת 1926, פרסם ארווין שרדינגר בכתב העת Annalen der Physik, תחת השם "Quantization and Eigenvalue Problem" את משוואת הגלים היסודית (אשר לימים נקראה משוואת שרדינגר). שרדינגר התבסס על תגליותיו של דה ברולי, אשר קשר את אורך הגל לתדר ואנרגיית החלקיק, ועומד על הקשר בין גל לחלקיקים. משם שרודינגר הניח כי האלקטרון נמצא במצב של גל עומד הוא יציב והאנרגיה שלו היא רמת אנרגיה אותה אנחנו יודעים למדוד. בנוסף, שרדינגר הציע דרך לחשב את פונקציית הגל של האלקטרון בעזרת המשוואה הפונדמנטלית שלו כאשר מציבים: $V=-{\frac {e^{2}}{r}}$. למודל של שרדינגר יתרונות רבים על המודל של הייזנברג, כאשר שמשמעותי ביותר הוא ביסוס התיאוריה על עקרונות גליים, ושימוש בכלים מתמטיים שהיו מוכרים באותה תקופה לפיזיקאים תאורטיים ולכן היה משמעותית יותר קל עבורם להשתמש במשוואה על מנת להגיע לתוצאות.

למודל שרדינגר היו מספר חסרונות, כאשר המשמעותי ביותר בהם היה הקושי של שרדינגר לחשב את משוואת הגל היחסותית. חישובו של שרודינגר היה שגוי משום שלא הצליח לחזות את קבוע המבנה הדק של זומרפלד (ושרדינגר החליט שלא לפרסם את נוסחאתו היחסותית בגלל קושי זה). נוסף על החסרון של הסבר יחסותי, שרדינגר התקשה להסביר מה משמעות אותה פונקציית גל אותה אנחנו מקבלים ממשוואתו. שרדינגר הציע כי$e\Psi \Psi ^{*}$ היא פונקציית צפיפות המטען. פיתוח של בורן מסביר את $\Psi \Psi ^{*}$ כפונקציה הסתברותית, אשר $\Psi \Psi ^{*}dV$ הוא הסיכוי של האלקטרון להופיע בחתיכת נפח $dV$ במיקום ${\vec {r}}$. פיזיקאים רבים וביניהם פאולי, זורדן ודיראק אימצו גישה זאת.

שילוב משמעות פונקציית הגל ועקרון אורך הגל של דה ברולי מכילים את המודל של שרדינגר באופן פורמלי בתוך המודל של הייזנברג, אך הדרך בה גזר שרדינגר את משוואתו שונה מדרכו של הייזנברג.

עקרון ההתאמה של בוהר

עקרון ההתאמה של בוהר פותח על ידי נילס בוהר בשנת 1923, ולפיו כאשר מערכת קוונטית שואפת אל הגבול הקלאסי, משמע בעבור מספרים קוונטיים גדולים (וחבורת גלים) ההתנהגות של המערכת תתאים לתוצאות הקלאסיות. במילים אחרות, עבור סדרי גודל גדולים, או אנרגיות גבוהות, המשוואות הקוונטיות יתנו את התוצאות הקלאסיות, אותן ניתן לקבל מחוקים כמו חוקי ניוטון ומשוואות מקסוול.

עקרון ההתאמה מסביר מדוע עקרונות קוונטים עליהם כל התופעות האטומיות מבוססים עליהם לא משפיעים על עולמנו המקרוסקופי ומדוע המכניקה הקלאסית תקפה למרות ההנחות הקוונטיות.