קיום ויחידות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, קיום ויחידות הוא מונח המציין כי קיים עצם מתמטי יחיד המקיים הגדרה נתונה.

לדוגמה, נגדיר "מספר סופר-תאום" שהוא מספר המשתתף בשני זוגות של ראשוניים תאומים. תחילה נוכיח כי קיום של מספר כזה על ידי כך שנצביע על מקרה מפורש: 5 הוא סופר תאום כי (3,5) ו-(5,7) שניהם זוגות של ראשוניים תאומים. עתה נוכיח יחידות: נניח כי קיים מקרה נוסף של סופר-תאום. כלומר קיים p ראשוני כך ש-P-2 ו-P+2 ראשוניים. שלושת הראשוניים יהיו שונים מודולו 3 ולכן אחד מהם יתחלק ב-3. אך אם ראושני מתחלק ב-3 הוא בהכרח שווה ל-3 ולכן 3,5,7 היא האפשרות היחידה לשלשת הראשוניים. וכך הוכחנו את הקיום והיחידות של "מספר סופר תאום", ולמעשה המונח מגדיר את המספר 5.

לרוב הוכחת קיום ויחידות תתבצע בשני שלבים, כשבשלב הראשון יוכח קיום העצם (עניין שפעמים רבות אינו טריוויאלי) ובשלב השני יוכח כי עצם זה הוא יחיד. פעמים רבות העניין בקיום ויחידות הוא במציאת הגדרות טבעיות לעצמים שנבנים בדרך מפורשת, דרך שיכולה להיראות מלאכותית ולא בהכרח תדגיש את החשיבות המתמטית של העצם.

בלוגיקה מתמטית מקובל לסמן קיום ויחידות של x המקיים תכונה P בעזרת הסימון \ \exists!x\,P(x). זהו רק קיצור בלתי פורמלי לפסוקים שקולים אורכים יותר המבטאים קיום ויחידות, כמו: \exists x\,(P(x) \wedge \forall y\,(P(y) \to x = y)) (שפירושו: קיים x המקיים את P וכל y המקיים את P שווה ל-x).

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]