פונקציית גמא

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פונקציית גמא היא פונקציה מרוכבת מֶ‏רוֹ‏מורפית, המרחיבה את מושג ה"עצרת" לכל המישור המרוכב: לכל מספר טבעי \ n=1,2,\dots, הפונקציה מקבלת את הערך \ \Gamma(n)=(n-1)!.

הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר באמצע המאה ה-18, אך הסימון של הפונקציה באות \ \Gamma נכנס לשימוש בעקבות עבודתו של לז'נדר. גאוס הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא, \ \Pi(z) = \Gamma(z+1), לה הוא קרא "פונקציית פאי", אלא שהסימון של לז'נדר הועדף בצרפת, ובעקבות זאת גם בשאר העולם.

הפונקציה מוגדרת במחצית הימנית של המישור המרוכב באמצעות האינטגרל  \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt.

לפונקציית גמא קטבים (פשוטים) בנקודות \,z=0,-1,-2,\dots בלבד, ואין לה שורשים. הפונקציה מקיימת את המשוואה הפונקציונלית \ \Gamma(z+1) = z\Gamma(z), המסבירה את הקשר לפונקציית העצרת, ועוד זהויות פונקציונליות רבות אחרות.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית גמא מוגדרת על ידי האינטגרל הבא:


\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

וזאת לכל \ z \in \mathbb{C} שהחלק הממשי שלו, \,Re(z), הוא חיובי. פונקציה זו מתלכדת עם הפונקציה המוגדרת באמצעות הגבול \ \Gamma(z) = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1\cdot 2 \cdots n}{z\cdot (z+1)\cdots (z+n-1)}(n+1)^{z-1} , המוגדר היטב לכל \ z \neq 0,-1,-2,\dots. משום כך, הפונקציה השנייה מהווה המשכה אנליטית של האינטגרל לפונקציה מרומורפית.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקשר לפונקציית עצרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

גרף של פונקציית גמא על הישר הממשי

ניתן להראות שעבור מספרים טבעיים, פונקציית גמא שווה (בהזזת 1) לפונקציית העצרת.

אם \,n הוא חיובי ושלם, אזי \Gamma(n) = \int_0^\infty t^{n-1}\,e^{-t}\,dt=(n-1)! , כי על ידי ביצוע אינטגרציה בחלקים, אפשר להראות כי \,\Gamma(n+1)=n\Gamma(n), ומאחר ש-\,\Gamma(1)=1 נקבל כי \,\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=\ldots=n!\Gamma(1)=n!\, לכל מספר טבעי \,n.

זהויות אחרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

זהות חשובה אחת לפונקציית גמא היא נוסחת השיקוף: \ \Gamma(1-z)\Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z}.

מכאן נובע כי \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2 = {\pi \over \sin \pi/2}=\pi, ולכן \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.

זהות חשובה אחרת היא נוסחת הכפל של גאוס:


\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{k}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{k}\right) \cdots
\Gamma\left(z + \frac{k-1}{k}\right) =
(2 \pi)^{(k-1)/2} \; k^{1/2 - kz} \; \Gamma(kz) \,\!

גרף של הערך המוחלט של פונקציית גמא במישור המרוכב.
באיור זה ניתן לראות בבירור את הקטבים של הפונקציה

לפונקציית גמא יש קוטב ב \,z=-n לכל \,n טבעי. בנקודה זאת נתון גם ש:

\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.

המכפלה האינסופית הבאה, כפי שהראה ויירשטראס, נכונה לכל \,z מרוכב, אשר אינו שלם אי-חיובי:

\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}

כאשר \,\gamma הוא "קבוע אוילר".

משפט בוהר-מולרופ[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט בוהר-מולרופ (Bohr–Mollerup theorem) הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא. המשפט קרוי של-שמם של המתמטיקאים הדנים הארלד בוהר ויוהאן מולרופ שהוכיחו אותו.

משפט: פונקציית גמא הממשית המוגדרת לכל \,x>0 על ידי \Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt היא הפונקציה היחידה \,f בקרן (0,\infty) המקיימת:
  1. \,f(1)=1
  2. f(x+1)=xf(x)\ \mbox{for}\ x>0
  3. \,f היא פונקציה לוג-קמורה

אחת ההוכחות לנוסחת סטירלינג משתמשת במשפט זה. במסגרת ההוכחה בונים פונקציה המקיימת את שלושת התנאים במשפט בוהר-מולרפ, ולכן פונקציה זו היא בהכרח פונקציית גמא.


ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]