קירוב זומפרלד

קירוב זומפרלד היא טכניקת קירוב שהומצאה על ידי ארנולד זומרפלד ונועדה לסט של אינטגרלים הנפוצים בפיזיקה של חומר מעובה ומכניקה סטטיסטית. מבחינה פיזיקלית, האינטגרלים מייצגים ממוצעים סטטיסטיים תוך שימוש בהתפלגות פרמי-דיראק.

כאשר הטמפרטורה ההופכית $\beta$ גבוהה ביחס ל $\varepsilon -\mu$, ניתן לקרב את האינטגרל במונחי $\beta$:

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(\varepsilon )}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}+1}}\,\mathrm {d} \varepsilon =\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {1}{\beta }}\right)^{2}H^{\prime }(\mu )+O\left({\frac {1}{\beta }}\right)^{4}}$$

כאשר ${\displaystyle H^{\prime }(\mu )}$ מייצג את הנגזרת של הפונקציה ${\displaystyle H(\varepsilon )}$ בנקודה $\varepsilon =\mu$, והסימון $O\left({\frac {1}{\beta }}\right)^{4}$ מייצג איברים נוספים מסדר רביעי ומעלה של ${\frac {1}{\beta }}$. קירוב זה תקף אך ורק אם $H(\varepsilon )$ שואף לאפס כאשר $\varepsilon \rightarrow -\infty$, ועולה פולינומית לכל היותר ב-$\varepsilon$ כאשר $\varepsilon \rightarrow \infty$.

ניתן לבצע קירוב זה גם כאשר תחומי האינטגרל הם מאפס לאינסוף. השינוי היחיד בקירוב יהיה שהאינטגרל של האיבר הראשון יהיה מאפס ל-$\mu$.

קירוב זומרפלד במודל האלקטרון החופשי

שימוש נפוץ לקירוב זומרפלד הוא חישוב תכונות אלקטרוניות שונות, כגון קיבול חום במתכות, שבהן תקף מודל האלקטרון החופשי. בחישובים אלה הפונקציה ${\displaystyle H(\varepsilon )}$ מייצגת את צפיפות המצבים הקוונטיים עבור יחידת אנרגיה. בנוסף, $\beta$ מזוהה עם הטמפ' ההופכית ו-$\mu$ כפוטנציאל הכימי. מכאן שהקירוב הנ"ל תקף עבור מערכות בהן $\beta$ גבוהה (כלומר טמפ' נמוכה).

על פי מודל האלקטרון החופשי ניתן לקרב את האלקטרונים במתכת לגז פרמיונים. עבור גז כזה, ניתן להוכיח כי התלות של הפוטנציאל הכימי בטמפרטורה היא:

$$\mu =\varepsilon _{F}\left[1-{\frac {1}{3}}\left({\frac {\pi k_{B}T}{2\varepsilon _{F}}}\right)^{2}\right]$$

כאשר $\varepsilon _{F}$ היא אנרגיית פרמי, $T$ היא הטמפטורה ו$k_{B}$ הוא קבוע בולצמן. מכאן שהפוטנציאל הכימי מזוהה עם $\varepsilon _{F}$ עד כדי תיקון מסדר שני של $T$. נשים לב ש- $\varepsilon _{F}=k_{B}T_{F}$, כאשר $T_{F}$ היא טמפרטורת פרמי שערכה עבור רוב המתכות הוא מסדר גודל של $10^{4}K$. לשם השוואה, טמפרטורה החדר הנה $293K$, כלומר מסדר גודל של $10^{2}K$. מכאן שעבור מרבית השימושים הפרקטיים, ניתן להניח כי הטמפטורה אכן נמוכה, ושקירוב זומרפלד אכן מדויק גם בסדרים הנמוכים.

פיתוח הקירוב מסדר שני בטמפרטורה

אנחנו מעוניינים לפתח את האינטגרל עד הסדר השני בטמפ', כלומר $\tau ^{2}$, כאשר $\beta ^{-1}=\tau =k_{B}T$ היא התוצר של המכפלה של הטמפ' בקבוע בולצמן. נתחיל בהחלפת המשתנים $\tau x=\varepsilon -\mu$:

$$I=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(\varepsilon )}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}+1}}\,\mathrm {d} \varepsilon =\tau \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x$$

נפצל את האינטגרל לשניים, $I=I_{1}+I_{2}$, ונשכתב את $I_{1}$ בעזרת החלפת המשתנה $x\rightarrow -x$:

$$I=\underbrace {\tau \int _{-\infty }^{0}{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x} _{I_{1}}+\underbrace {\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x} _{I_{2}}$$

$$I_{1}=\tau \int _{-\infty }^{0}{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x=\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu -\tau x)}{e^{-x}+1}}\,\mathrm {d} x\,$$

לאחר מכן, נבצע טריק אלגברי על המכנה של $I_{1}$:

$${\frac {1}{e^{-x}+1}}=1-{\frac {1}{e^{x}+1}}$$

ונקבל:

$$I_{1}=\tau \int _{0}^{\infty }H(\mu -\tau x)\,\mathrm {d} x-\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu -\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x\,$$

עתה נחבר את שני האינטגרלים ונציב בחזרה את המשתנה המקורי, $-\tau \mathrm {d} x=\mathrm {d} \varepsilon$, באיבר הראשון של $I_{1}$:

$$I=\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu +\tau x)-H(\mu -\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x\,$$

ניתן לפתח את המונה באיבר השני בעזרת קירוב טיילור מסדר ראשון, בהינתן ש- $\tau <<\mu$ (כלומר קטן דיו מ-$\mu$):

$$\Delta H=H(\mu +\tau x)-H(\mu -\tau x)\approx 2\tau xH'(\mu )+\cdots$$

נציב ונקבל:

$$I=\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +2\tau ^{2}H'(\mu )\int _{0}^{\infty }{\frac {x\mathrm {d} x}{e^{x}+1}}\,$$

ערכו של האינטגרל המסוים באיבר השני הוא:

$$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\mathrm {d} x}{e^{x}+1}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}$$

ומכאן ש:

$$I=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(\varepsilon )}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}+1}}\,\mathrm {d} \varepsilon \approx \int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +{\frac {\pi ^{2}}{6\beta ^{2}}}H'(\mu )\,$$

פיתוח הקירוב עבור סדרים גבוהים יותר

נרצה לפתח לטור את האינטגרל:

$$\int _{-\infty }^{\infty }d\varepsilon H(\varepsilon )f(\varepsilon ),f(\varepsilon )={\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}+1}}$$

תחת ההנחה שכאשר $\varepsilon \rightarrow -\infty$ הפונקציה $H(\varepsilon )$ דועכת לאפס, וכאשר $\varepsilon \rightarrow +\infty$, הפונקציה אינה מתבדרת חזק יותר מאשר $f$ דועכת. אם כן נגדיר:

$$K(\varepsilon )\equiv \int _{-\infty }^{\varepsilon }H(\varepsilon ')d\varepsilon '$$

כך ש:

$$H(\varepsilon )={\frac {dK(\varepsilon )}{d\varepsilon }}$$

עתה נוכל לבצע אינטגרציה בחלקים ולקבל:

$$\int _{-\infty }^{\infty }H(\varepsilon )f(\varepsilon )d\varepsilon ={\cancelto {0}{K(\varepsilon )\left(-{\frac {\partial f}{\partial \varepsilon }}\right)}}{\Biggr |}_{-\infty }^{\infty }+\int _{-\infty }^{\infty }K(\varepsilon )\left(-{\frac {\partial f}{\partial \varepsilon }}\right)d\varepsilon =\int _{-\infty }^{\infty }K(\varepsilon )\left(-{\frac {\partial f}{\partial \varepsilon }}\right)d\varepsilon$$

כאשר האיבר הראשון הראשון מתבטל מתוך ההנחה שלנו לגבי ההתנהגות של $H(\varepsilon )$ באינסוף.

נשים לב ש- $f$ שואפת לאפס כאשר $\varepsilon$ גדול מאוד מ- $\mu$ $(\varepsilon -\mu >>\beta )$, ושואפת לאחד כאשר $\varepsilon$ קטן מאוד מ- $\mu$, ולכן עיקר התרומה שלה לאינטגרל היא כאשר $\varepsilon \approx \mu$. בהנחה ש- $H(\varepsilon )$ אינה סינגולרית ואינה משתנה מהר מידי באזור $\varepsilon =\mu$, הגיוני להניח כי עבור פיתוח של $K(\varepsilon )$ בטור טיילור סביב $\varepsilon =\mu$, נקבל כי האיברים הראשונים הם המשמעותיים ביותר. במקרים בו ההנחה הזו אינה מתקיימת הקירוב עדיין תקף, אך אינו שימושי כיוון שנצטרך לחשב כמות גדולה של איברים בטור.

אם כן נפתח את $K(\varepsilon )$ סביב $\varepsilon =\mu$:

$$K(\varepsilon )=K(\mu )+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {\left(\varepsilon -\mu \right)^{n}}{n!}}\right]\left[{\frac {d^{n}K(\varepsilon )}{d\varepsilon ^{n}}}\right]_{\varepsilon =\mu }$$

עכשיו נוכל להציב את $K(\varepsilon )$ באינטגרל. נשים לב שהאיבר המוביל יניב רק $K(\mu )$, כיוון ש:

$$\int _{-\infty }^{\infty }\left(-{\frac {\partial f}{\partial \varepsilon }}\right)d\varepsilon =1$$

בנוסף על כך, כיוון ש- $\partial f/\partial \varepsilon$ היא פונקציה זוגית סביב $\mu$, כל האיברים שבהם $n$ אי-זוגי יתאפסו. אם כן, לאחר הצבת הטור והחלפת משתנים מ- $K(\varepsilon )$ בחזרה ל- $H(\varepsilon )$ נקבל:

$$\int _{-\infty }^{\infty }H(\varepsilon )f(\varepsilon )d\varepsilon =\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )d\varepsilon +\sum _{n=1}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(\varepsilon -\mu )^{2n}}{(2n)!}}\left(-{\frac {\partial f}{\partial \varepsilon }}\right)d\varepsilon {\frac {d^{2n-1}}{d\varepsilon ^{2n-1}}}H(\varepsilon ){\big \vert }_{\varepsilon =\mu }$$

את האינטגרל שמופיע בסכום נוכל להציג כטמפ' בחזקת $n$ המוכפלת באינטגרל חסר ממדים. נוכל לבצע החלפת משתנים $(\varepsilon -\mu )/\tau =x$ ולהציג אותו כך:

$$a_{n}\tau ^{2n}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(\varepsilon -\mu )^{2n}}{(2n)!}}\left(-{\frac {\partial f}{\partial \varepsilon }}\right)d\varepsilon =\tau ^{2n}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\left(-{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{e^{x}+1}}\right)dx$$

בעזרת מניפולציות אלגבריות, ניתן לפשט את המקדמים $a_{n}$ לצורה:

$$a_{n}=\left(2-{\frac {1}{2^{2(n-1)}}}\right)\zeta (2n)$$

כאשר $\zeta$ הנה פונקציית זטא של רימן.

אז לבסוף קיבלנו את הפיתוח המבוקש:

$$\int _{-\infty }^{\infty }H(\varepsilon )f(\varepsilon )d\varepsilon =\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )d\varepsilon +\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\tau ^{2n}{\frac {d^{2n-1}}{d\varepsilon ^{2n-1}}}H(\varepsilon ){\big \vert }_{\varepsilon =\mu }$$

עבור פיתוח מסדר ראשון נקבל:

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{{H(\varepsilon )}f(\varepsilon )}\mathrm {d} \varepsilon =\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +{\frac {\pi ^{2}}{6}}\tau ^{2}H^{\prime }(\mu )+O\left(\tau \right)^{4}}$$

פיתוח עבור סדרים גבוהים יותר בעזרת פונקציות יוצרות

אנחנו יכולים להשיג איברים מסדר גבוה יותר עבור קירוב זומרפלד, על ידי שימוש בפונקציות יוצרות עבור מומנטים של התפלגות פרמי. אלו נתונים לנו על ידי:

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}e^{\tau \epsilon /2\pi }\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{\tau }}\left\{{\frac {({\frac {\tau T}{2}})}{\sin({\frac {\tau T}{2}})}}e^{\tau \mu /2\pi }-1\right\},\quad 0<\tau T/2\pi <1$$

כאשר $k_{B}T=\beta ^{-1}$ ופונקציית המדרגה $-\theta (-\epsilon )$ מחסרות את תרומת הטמפ' האפסיות. פיתוח בחזקות של $\tau$ ייתן לנו לדוגמה:

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}=\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)$$

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}\left({\frac {\epsilon }{2\pi }}\right)\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{2!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{2}+{\frac {T^{2}}{4!}}$$

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}{\frac {1}{2!}}\left({\frac {\epsilon }{2\pi }}\right)^{2}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{3!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{3}+\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right){\frac {T^{2}}{4!}}$$

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}{\frac {1}{3!}}\left({\frac {\epsilon }{2\pi }}\right)^{3}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{4!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{4}+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{2}{\frac {T^{2}}{4!}}+{\frac {7}{8}}{\frac {T^{4}}{6!}}$$

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}{\frac {1}{4!}}\left({\frac {\epsilon }{2\pi }}\right)^{4}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{5!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{5}+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{3}{\frac {T^{2}}{4!}}+\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right){\frac {7}{8}}{\frac {T^{4}}{6!}}$$

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}{\frac {1}{5!}}\left({\frac {\epsilon }{2\pi }}\right)^{5}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{6!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{6}+{\frac {1}{4!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{4}{\frac {T^{2}}{4!}}+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{2}{\frac {7}{8}}{\frac {T^{4}}{6!}}+{\frac {31}{24}}{\frac {T^{6}}{8!}}$$

ניתן ליצור פונקציה יוצרת דומה עבור המומנטים האי זוגיים של פונקציית בוזה-איינשטיין:

$$\int _{0}^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}\sinh(\epsilon \tau /\pi ){\frac {1}{e^{\beta \epsilon }-1}}={\frac {1}{4\tau }}\left\{1-{\frac {\tau T}{\tan \tau T}}\right\},\quad 0<\tau T<\pi$$

מקורות

• Sommerfeld, A. (1928). "Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik". Zeitschrift für Physik. 47 (1–2): 1–3.
• הספר Ashcroft And Memin, Solid State Physics, Cengage Learning; 1st edition (January 2, 1976), 1976. פרק 2 The Sommerfeld Theory of Metals ו- Appendix C.